TRIGONOMÉTRIE.

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par conséquent, en remplaçant les différentes lignes par leursdésignations trigonométriquës, et faisant le rayon OA = 1 , ilvient

sin 2 a = 2PH = 2 sin a cos a ,cos2a= OH—AH=cos’«—sinAz.

Ce sont les formules [1] et [2] du n° 29.

44. Etant donné cos zz, trouver sin '-a et cos j a.

Prenez l’arc AC —æ (lîg. 7), menez CP perpendiculaire audiamèlre AB, puis tirez les cordes AC et BC, ainsi que les deuxrayons OD et OE qui les coupent perpendiculairement en leursmilieux. En supposant toujours OA = 1, on aura OP = cos a,AP = 1 — cos a, BP = 1-|-cos æ, AC= 2sin^a, BC = 2cos '-a.Or, chacune des cordes est moyenne proportionnelle entre le dia-mètre et le segment adjacent ; donc

AC a = ABxAP ou 4 sin’^Æi=2 (1—cos a),BC a =ABxBP ou 4cos a f a=2 (1-j-cos a),

Delà on tire les formules connues (31)

1 -J-cos a

45. Le sinus et le cosinus d’un arc étant donnés , trouver lesinus et le cosinus de l’arc triple.

Considérons la fig. 8, dans laquelle le rayon OB = 1 et l’arcAB=BC = CD — a. Le triangle isoscèle BOD est semblable àBDF : car l’angle OBD est commun, et l’angle BDF , qui a pourmesure jBAE ou BCD, est égal à BOD. On a donc

BF : BD :: BD : OB d’où BF = 4sin 2 zz.

Menez PG parallèle à BF : on a PG = BF = 4 sin 2 a , et les trian-p gles semblables QGP, OBP, donnent

QG : BP :: PG • OB d’où QG = 4sin 3 « ;

PQ : OP :: PG : OB d’où PQ = 4sin 2 a cos a.

Mais on a

sin Za = DQ = DF -f FG— QG

= BD -f BP — QG = 3 sin a — QGcos 3<z= OQ =OP — PQ = cos a — PQ ;