TRIGONOMÉTRIE

3.3

Remplaçons, dans tang {«+£), SH et OH par leurs râleurs, eton trouve la formule connue (34).

tang (æ+ 1>) =

tang a-j-tang1—langatang

b

~b'

On obtient avec la môme facilité la valeur de tang (a— b). Ilfaut alors employer la fig. 10, dans laquelle l’arc AO = «— b ; etl’on voit sur-lc-cliamp que les mômes calculs ont encore lieu dansce cas. Seulement il arrive que RS étant égal à tang a— tang b,le second terme des numérateurs de SH et de UH change de signe :de sorte qu’on a

tang (a— b)

tang a— tang&

1 -|- tang a tang b'

47. Démontrer par la géométrie les formules

sin-f-sin2sin 7 (p+q) cos7 (p —y),sin/j— sinç = 2cos 7 ip+q) sin !(/>— q ),

Ayant pris ( fig. 11 ) AB=j» et AC = <7, tirez la corde BG et lerayon OD qui la coupe perpendiculairement en son milieu E ; abais-sez sur OA les perpendiculaires BP, CQ, DR, EF; puis menez EGparallèle à OA. D’après la construction même, on a

= sin p, CQ:

AD = 7 [p + q), DR = sin 7 {p-\-q) , OR = cos 7 (p+q),BD = 7 {p — q), BE = sin 7 (p — q ), OE = cos 7 ( p — q).Mais les triangles semblables ODR, OEF, BGE, donnent

EF : DR :: OE : OD et I1G : OR :: BE : OD,

d’où

EF =

DR X OEOD

et BG

orxbe

OD

En remplaçant les différentes lignes par leurs valeurs, doublant cesexpressions, et faisant le rayon 01) = 1 , on obtient les formulesdont il s’agit.

Les mêmes triangles donnent aussi les valeurs de cos p -f- cos qet de cos q —cos p.

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