TRIGONOMÉTRIE.

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Cherchons d’abord le sinus de 10". A cet effet, rappelons quele rapport de la circonférence au diamètre est :,t

77 = 3,14159 26535 89793 ....

Quand le rayon est pris pour unité, la demi-circonférence est doncégale à ît; et comme il y a 648000 secondes dans 180 ’, on aura ,eu parties du rayon,

TV

[1] arc 10"

= 0,00004 84813 68110

64800

Or,, lin très-petit arc étant à fort peu près égal à son sinus, le nom-bre ci-dessus peut être regardé comme une valeur trcs-approchéede sin 10". Mais ceci demande quelques développements.

50. D’abord je vais démontrer que dans le premier quadrant unarc est plus grand que son sinus et moindre que sa tangente.

Soient (fig. 12) AP le sinus de l’arc AB, et AT la tangente:pliez la figure autour de OT, et supposez que le point A vienne en C.On aura arc AC > corde AC, et par suite arc AB > AP ; doncl’arc est plus grand que le sinus. On a aussi arc AC < AT-|- CT ;donc AB <AT; donc l’arc est moindre que la tangente.

* » OUIl MVIV/ U» . U1UVIL XV MW UU i ■ IV 1 V* V ,

sin<z smu

en différera moins encore.

51. En second lieu, je dis que si l’onfait décroître un arc jus-qu’à zéro , le rapport de cet arc à son sinus peut devenir aussi peudifférent-qu’on voudra de l’unité : c’est-à-dire que ce rapport apour limite l’unité.

r , sin« , tango: 1

La formule lang a =-(28) donne —— =-. Or,

cos a sin æ cos a

en diminuant l’arc a ( qui est supposé < 90° ), le cosinus aug-mente et peut approcher autant qu’on veut de l’unité ; donc le

t ang a

ou son égal

sin a

cosa

rapport-, ou son égal ■ -, va en diminuant et a pour

/v\c /! 7 c un n 7 r

limite l’unité.

L’arc étant plus grand que le sinus et moindre que la tangente, le

ne peut jamais être ni <1 ni >

a

rapport

sm a

puisque ce dernier rapport peut approcher autant qu’on veutde l’unité, il en sera de même du premier. C’est ce qu’il fallaitdémontrer, et c’est pourquoi Ton prend la valeur de l’arc de 10"pour colle de sin 10".