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première partie.

52. Il faut maintenant déterminer le degré de l'approximation,afin de rejeter les décimales inutiles. On a sina=2sin4« cos^a.

Or l’inégalité tan g ~ a^> ± a , laquelle revient àdonne 2sinja>«cosja; donc on a

sin a^> a cos '\a.

Mais on a cos’^æ= 1—sin’^a, et par conséquent cos’ja>1— {k a )'\ donc

a*

sin a^> a --.

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Appliquons ce résultat à l’arc 10". D’après la valeur [1], en aug-mentant d’une unité la 5 e décimale, on aura arc 10" <0,00005 ;donc \ (arc 10") 3 < 0,00000 00000 00032. Par suite il viendra

• f °> 00004 84813 68110

sin 10 > [ _ o,00000 00000 00032 ;

et, en effectuant la soustraction,

sin 10" > 0,0004 84813 68078 ....

On voit que ce sinus ne commencera à différer de l’arc 10" quepar la 13 e décimale ; et même, dans l’arc , cette 13 e décimale n’aqu’une unité de plus. De là il suit que si on prend

sin 10" = 0,00004 84813 681,

on sera assuré que l’erreur sera moindre qu’une unité du 13 e ordre.En effet, il est clair que la valeur précédente devient trop petite sion ôte une unité à son dernier chiffre ; et qu’au contraire , si onlui en ajoute une, elle devient trop grande, car alors elle surpasse-rait l’arc. _

En mettant la valeur de sin 10" sous le radical l/l—sin a 10",on trouve cos 10" , savoir :

cos 10" = 0,99999 99988 248.

Ensuite on pourra obtenir successivement les sinus et les cosinusde 20", 30", 40",... jusqu’à 45°, au moyen des formules connues

sin ( a-\-b) = sin a cos b -j- cos a sin à,cos = cos a cos b — sin a sin à.