TRIGONOMÉTRIE.

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53. Les calculs se font plus rapidement par le procédé suivant,que j’emprunte à Thomas Simpson , géomètre anglais .

Les formules du n° 38 donnent

sin ( a-\-b ) = 2 cos b sin a — sin ( a — b ),cos {a-\-b) = 2 cos b cos a — cos (a —b).

On peut considérer les arcs a — b , a , a -f- b , comme trois termesconsécutifs d’une progression arithmétique dont la raison est b-, donc,si on nomme t , t, t" , ces trois termes, on a

sin i"= 2 cos b sin f'— sin<,cos t"z= 2 cos b cos t !—cos t.

La première formule montre que deux sinus consécutifs étantcalculés, on trouvera le sinus suivant en multipliant le dernier par2 cos b, l’avant-dernier par —1, et en ajoutant les deux produits.Même règle pour les cosinus.

En conséquence, pour obtenir les sinus et les cosinus de 10 se-condes en 10 secondes , on fera b — 10" ; et, en nommant a et 6 lesvaleurs connues de sin 10'' et cos 10", on aura

sin 0 = 0,

sin 10"= a,

sin 20"= 2 (3 sin 10",

sin 30"= 2 (3 sin 20"—sin 10'

sin 40"= 2(3 sin 30''—sin 20'

etc.,

cos 0 = 1,

cos 10" = §,

cos 20" = 2(3 cos 10" ■— 1,

cos 30" = 2 (5 cos 20" — cos 10 1

cos 40" = 213 cos 30" —cos 20'

etc.

Mais comme 2 S diffère peu de 2 unités, ces calculs peuventencore être abrégés. Désignons par k la différence 2—2 (3, on aurak= 0,00000 00023 504 et 2p = 2— k. Par suite la valeur desin f devient

sin t" = 2 sin S—k sin t '— sin t,d’où sin f — sin i! — (sin t — sin t) — k sin f'.

Quand la différence sin t" — sin t 'sera calculée, on l’ajoutera àsin tf , et on connaîtra sin t". Or, d’après la dernière formule,cette différence est égale à sin t' — sin t, différence déjà calculéeavant d’arriver à l’arc moins le produit k sin t'-, donc la seuleopération laborieuse, qui se renouvelle à chaque sinus , serala muliplication du dernier sinus par le nombre constantk = 0,00000 00023 504. Mais cette opération peut elle-mêmeêtre abrégée en formant d’avance les produits de 23504 par les