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ehitlres 1, û, 3,.... jusqu’à 9 : par-là on aura immédiatement lesproduits partiels qui composent chaque produit tel que Àsint',et il ne restera qu’à les ajouter. Des calculs presque semblablesferont connaître les cosinus.

Pendant une si longue suite d’opérations les erreurs pouvant semultiplier considérablement, on comprend qu’il est impossible deconserver treize décimales exactes jusqu’à la fin. Pour déterminerle degré de précision sur lequel on doit compter , je chercheraibientôt (56), par des procédés qui donnent une approximationcertaine, les valeurs de plusieurs sinus et cosinus; et alors lenombre des décimales qui leur seront communes avec les valeursfournies par les calculs qui viennent d’étre expliqués, indiqueraassez sûrement les décimales que l’on peut regarder comme exactesdans les résultats intermédiaires.

Si l’on venait à reconnaître que l’approximation est insuffisante,on choisirait pour point de départ un arc moindre que 10", celuide 1", par exemple, et on recommencerait tous les calculs.

54. Dans la pratique, il est bien moins utile d’avoir les nombrestrigonométriques que leurs logarithmes : aussi les tables donnent-elles immédiatement ces derniers. Mais, en conservant la supposi-tion du rayon= 1, les sinus et les cosinus seraient des fractions , etpar suite leurs logarithmes seraient négatifs. Afin de les rendrepositifs, on fait r=10“, ce qui revient à partager le rayon en 10billions de parties égales; et alors le logarithme d’un sinus ou d’uncosinus ne pourra plus être négatif que pour unangle si peu différentde zéro ou de. 90°, qne la différence sera tout à fait négligeable.

Il est d’ailleurs facile de transporter tous les résultats de la pre-mière hypothèse à la seconde, en les multipliant par 10’°, ou enajoutant 10 à leurs logarithmes. En effet, dans la première hypo-thèse , celle de r— 1, on trouve les rapports des sinus et des cosi-nus au rayon ; et il est clair que si on divise le rayon en rn partieségales, il faut multiplier m par tous ces rapports , pour connaîtrele nombre de parties contenues dans les sinus et les cosinus-

55. Les logarithmes des tangentes se déterminent par la formule

tans n — 1 Sm ^ , laquelle donne

” cos a

log tang< 2 =- log sina+ ( 10—log cos n. ) :c’est-à-dire qu’il faut ajouter au logarithme du sinus le complé-ment arithinètioue de celui du cosinus.