TRIGONOMÉTRIE.

Relations entre les cotés et les angles d’un triangle rectiligne.

62. Afin d’abréger, nous désignerons, dans tout ce qui va suivre,les angles des triangles par les lettres A, B, C, placées à leurs som-mets; et les côtés opposés, respectivement par a, ô, c. De plus, sile triangle est rectangle, A sera l’angle droit, et a l’hypoténuse.Cela posé, je vais démontrer les principes sur lesquels s’appuie larésolution des triangles rectilignes.

63. Théorème I. Dans un triangle rectangle , chaque côté del'angle droit est égal à Vhypoténuse multipliée par le sinus de l’an-gle opposé à ce côté.

Soit ABC (Gg. 13) un triangle rectangle en A : du point B,comme centre et avec un rayon quelconque, décrivez l'arc DE,et abaissez la perpendiculaire EF. Le sinus de l’angle B est lerapport de EF au rayon BE (18) : or les triangles semblables

BCA, BEF, donnent ^ ^ ; donc — = sin B, donc

a

[ 1 ]

h—a sin B.

C’est le théorème qu’il fallait démontrer.

L’angle B est le complément de C, donc sinB = cos C. Ainsi,on peut dire encore que dans un triangle rectangle, chaque

côté de l’angle droit est égal à l'hypoténuse multipliée par le

cosinus de l’angle adjacent à ce côté.

64. Théorème II. Dans un triangle rectangle , chaque côté de

l’angle droit est égal à l’autre côté multiplié par la tangente del’angle opposé au premier côté.

Soit encore le triangle ABC (fig. 13) : après avoir décrit l’arc DE,

élevez DG perpendiculaire à AB. Le rapport

A C'

_ AC l)(jr b

tangente de 1 angle B (18) : or — = —— ; donc — = tang B ;

Ali 1511 C

donc

[ 2 ]

b=c tang B.

Ce résultat peut aussi se déduire du théorème I. En effet, si onapplique ce théorème à chacun des côtés b et c , et si on observeque sinC=cos B, on aura b—a sin B et c — a cos B; donc

--- = tang B ou b = c tang B.

c cos B