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PREMIÈRE PARTIE.

65. Théorème III. Dans tout, triangle rectiligne , les sinus desangles sont entre eux comme les côtés opposés.

Soient A et B deux angles quelconques du triangle ABC (Gg. 14),et soit Ci) la perpendiculaire abaissée du sommet C sur le côtéAB. Sicile tombe au dedans du triangle ABC, les deux trianglesrectangles ACD, BCD, donneront CD = b sin A et CD = a sin B,donc ôsinA=«sinB, ou bien

sin A : sin B:;a : b.

Si la perpendiculaire tombe sur le prolongement de BA (fig. 15),le triangle ACD donne CD=ô sin CAD. Mais l’angle CAD étantsupplément de CAB, on a (9) sinCAD=sin CAB = sin A; et parsuite on a encore

[3] sin A:sin B::« : b.

66. Théorème IV. Dans tout triangle rectiligne , le carré d'uncôté est égal à la somme des carrés des deux autres, moins le doublerectangle de ces deux côtés , multiplié par "le cosinus de l’anglecompris entre ces côtés. Cest-à-dire qu’on a

[4] a’— b' -j- c 9 — übc cos A.

Soit ABC (Bg. 14) le triangle dont il s’agit, abaissez CD per-pendiculaire sur AB. Q uand l'angle A est aigu,on a, d’après unthéorème connu, CB J = AC a -f-AB 2 —2ABXAD, ou<z 2 =ô 3 -f-c’—2c X ad.

Or le triangle rectangle ACD donne AD = b cos A (63); et ensubstituant cette valeur de AD, on trouve l’équation [4].

Quand l’angle A est obtus ( fig. 15 ), on a

c’ + 2cx AD,

et le triangle ACD donne AD= b cos CAD. Mais CAD étant sup-plément de CAB ou A, on a cos CAD =—cos A (9); doncAD=—6 cos A, et par suite, en mettant cette valeur dans cellede a\ on trouve encore l’équation [4].

67. Le théorème précédent peut suffire à lui seul pour résoudreun triangle rectiligne. Il est clair en effet que, si on l’applique suc-cessivement à chaque côté, on aura les trois équations

<z 2 =ô 3 -{-c 2 —abc cos A,ô 2 = a 2 -j-c 2 —2 ac cos B,c 2 =<7 , -f-£e— 2 ab cos C,