50 PREMIÈRE PARTIE.

Ainsi la valeur desin B est plus grande que l’unité : or il n’y a pointde sinus plus grand que l’unité ; donc le triangle est impossible.

7G. Nous avons prescrit de chercher le côté c après l’angle B.Cependant on peut avoir c immédiatement au moyen des donnéesa , b, À : car, par le théorème IV, on a

— 2bc cos A,

ou c a — 2ôcosA.c=a’— b %

équation du second degré, de laquelle on tire

c =b cos A zfc |/a’—ô’-J-ô’cos’A= ôcosA±l/'a î — b' À sin 3 A.

Le côté d’un triangle devant toujours être une quantité réelleet positive, il y aurait à examiner quelles relations entre a, b,\ ; A,peuvent amener pour c une ou deux valeurs de cette espèce : maisje ne m'arrêterai pas à cette discussion.

Les valeurs précédentes de c étant peu commodes pour le calcullogarithmique ne sont d’aucun usage en trigonométrie. Néanmoins,comme on en rencontre souvent de semblables, je vais montrerl'espèce de transformation que les astronomes leur feraient subirpour en faciliter l’emploi.

Mettons d’abord ces valeurs sous la forme

c—b cosArfca

6 3 sin a À

aï' ’

Comme nous les supposons réelles, la quantité est moindre

que 1, et on peut la regarder comme le sinus d’un angle <j> qu’ondéterminera en posant

b sin A

sin ? =-.

a

«sin? * ô 3 sm 3 A

Alors on a b =— —-, \ / 1-= cos a, et par suite

sin A y a 3 r

_ a (sin <p cos A rt sin A cos ? ) asin(?±A)

sin A sin A

valeurs faciles à calculer par logarithmes.

Cette solution, au reste, rentre exactement dans la première ;car l’angle auxiliaire f n’est autre que l’angle B.