TRIGONOMÉTRIE- 51

77. Troisième cas. Etant donnes dans un triangle les deux côtésA et b avec l’angle compris G , trouver c, A, B.

Par le théorème III, ou a

a : b ::sin A: sinB.

proportion qui renferme deux inconnues A et B. Mais on en tirea-\-b \a—b :: sia A+sinB :sin A—sin B,et, d’un autre côté, on sait (40) que

sin A-fsin B : sin A—sin B : : tang ( (A+B) : tang j (A—B) ;donc on a

[1] a+b : eu— b tang ( (A+B) : tang ; (A—B).

Or J (A+B) = i (180°—C)=90°—{C; donc les trois premiers ter-mes de cette proportion sont connus, et on pourra en déduire lavaleur de £(A—B).^Quand en connaît la demi-somme et la demi-différence des angles A et B, chacun d’eux est connu : car on aévidemment

. A+B . A—B - „ A+B A—B

A ——'--et B=— -

2 1 2 2 2

A et B étant trouvés, on peut obtenir lecôtê c en posant[2] sin A : sinC : : a : c.

78, Cette proportion demande qu’on cherche trois nouveauxlogarithmes, savoir : ceux de a , sin A, sin G. Dans le procédésuivant il y en a un de moins à calculer.

Puisqu’on a sin A : sin B : sin G : : a : b : c, on doit avoir aussi

, ... (a+i)sinC

sinA+smB:smC::a+o:c, dou c —-.———— .

smA+sinB

Par des formules connues (n° s 39 et 29), on a sin A + sin B=2 sin ? (A+B) cos £ (A—B), sinC = 2sinjCcosjC; et, d’un autrecôté, sin f (A+B) = sin (90°—j C)=cos{ C. Substituons ces valeursdans c, et il vient, réductions faites,

[3]

(a+é)sim) Ccos j(A—B) '

Cette formule contenant a-\-b dont la logarithme est déjà connu,il y a réellement un logarithme de moins à chercher que dans laproportion [2].