TRIGONOMÉTRIE.

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lie un angle quelconque avec les trois côtés, et je montrerai ensuitecomment on en déduit la solution de tous les cas que peuvent pré-senter les triangles sphériques. Les angles seront toujours désignéspar A, B, C; et les côtés opposés, par «, i, c.

Soit O (fig. 26 ) le centre de la sphère sur laquelle est situé letriangle ABC : je mène les rayons OA, OL ! , OC ; j’élève sur OÀ lesperpendiculaires AD et AE, l’une dans le plan OAB, l’autre dansle plan OAC, et je suppose qu’elles rencontrent en D et E les rayonsOB et OC prolongés. L’angle DAE est égal à l’angle A du trianglesphérique ; et, en prenant OA pour unité, on aura AD = tang c,OD=séc c, AE==tang b, OE=séc b.

Cela posé, les triangles DAE, DOE, donnent (66)

AD’-j-AE’— 2AD.AE.cos A=DE',

OD’-j-OE’—20D OE.cos rt=DE*.

De la 2° égalité retranchons la l r0 , remarquons que UD—AD*=ÜÊ'—ÂË*=1, remplaçons les lignes par leurs désignations tri—gonométriques, et divisons par 2, il vient

1 — séc b sécc cosa-|-tangi tange cosA =0 :

. . , 1 , , sin b 1

mais sec b— - r , tang b — —-, sec c = -

cos b cos o cos c

donc on a

cos a

d’où

cos b cos c

sinisinecosA

■f-;-—0 .

cos b cos c

tang c =

sin ccos c’

[1] cos« = cosô cosc-)-sinô sine cos A.

Telle est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique.

94. Dans la Ggure les côtés b et c sont moindres que 90°, maisil est facile de voir que la formule [1] est générale. Supposons quel’un de ces côtés surpasse 90°, et que ce soit, par exemple, bou AC (ûg. 27) : j’achève les demi-circonférences CAC', CBC', etje forme ainsi le triangle ABC', dont les côtés a! et b', ou BC*et AC', sont suppléments de a et b , et dont l’angle BAC' est sup-plément de A. Puisque les côtés b' et c sont moindres que 90°, laformule [t] s’applique au triangle ABC', et donne

cos a' = cos b' cos c-)- si ni' sinccos BAC'.