62 PREMIÈRE PARTIE.

Or a'=180°— a, b’—i80° — b, BAC'=180—À : en substituantccs valeurs, et changeant les signes des deux membres, on retrouvala formule [1]; donc elle convient au cas où l’on a ô>90".

Supposons que les deux côtés b et c surpassent 90" (Qg. 28} :je prolonge les côtés AB et AC jusqu’à leur intersection A', et jeforme le triangle BCA', dans lequel l’angle A' est égal à A, et lescôtés b' et c' égaux aux suppléments de b et c. La formule [1] ,étant appliquée à ce triangle, devra avoir lieu en y remplaçant,b et c par 180° — b et 180°—c : or ces substitutions n’y produisentaucun changement.

Enfin, on peut vériüer aussi la formule dans le cas où l’on ab— 90° etc=90", ensemble ou isolément. Mais comme elle convientà des valeurs aussi voisines qu’on voudra de 90", il est évidentqu’elle doit encore subsister dans ces cas particuliers.

95. On peut appliquer la formule [1] à chacun des côtés dutriangle, et on aura ainsi trois équations, au moyen desquelles onpourra toujours déterminer trois parties quelconques de ce trian-gle , quand les trois autres seront connues. Mais , pour la pratiqueil est nécessaire d’avoir séparément les diverses relations quiexistent entre quatre parties du triangle, prises de toutes les ma-nières possibles. Il n’y a en loutque quatre combinaisons distinctesque nous allons parcourir successivement.

96. 1° Relation entre les trois côtés et un angle. C’est l’équa-tion [1] déjà trouvée , laquelle en produit trois par la permutationdes lettres, savoir :

[1] costf=cos&cosc-f-sinà sine cos A,

[2] cosô =costfcosc-{-sina sinecosB,

[8] cosc =cosacosà-f-sinasinô cos C.

97. 2° Relation entre deux côtés et les deux angles opposés. Pouravoir celle qui répond à la combinaison a, b, A, B, il faut éli-miner c entre [1] et [2]. Le moyen qui se présente d’abord, c’estd’en tirer les valeurs de sin c et co3 c , puis de les substituer dansl’équation sin a c4-cos 3 c=: l ; mais le calcul suivant, analogue àéelui du n° 68, est plus simple.

L’équation [1] donne d’abord

, cos a —cos berne

COSA =-:——-.

sm b sin c

Par suite, on a