TRIGONOMÉTRIE.

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donc

sin’A= 1—cos’A—1-

(cos a —cos 6 cose) 1

siu’6 sin’c

(l—cos ”b) (1—cos’c)—(cos a—cos b cos c)'sm’ô sin’c

1—cos’a—cos 'b —cos’c+2cosacos b cases in* 6 siu’c ’

sinA_ v 1—cos’a—cos 'b —cos’c-J-âcos a cos b cosc

sina sin a sin ô sine

Il n’y a ici aucune ambiguité dans le signe du radical, attenduque les anglos et les côtés étant moindres que 180°, leurs sinussont positifs. Comme le second membre demeure constant quandon change A et a en B et b, et vice versa, ou bien en C et c, etvice versa, on conclut

sinA sinB sinC

[4] ---—;

sma sinô sine

donc, dans un triangle sphérique, les sinus des angles sont entreeux comme les sinus des cotés opposés.

98. 3" Relation entre deux côtés, l’angle qu’ils comprennent t etl’angle opposé à l’un d’eux. Considérons la combinaison a,b, A,C.Eliminons d’abord cos c entre [1] et [3], il vient

cos a = cos a cos’ô -{- c09 & sin a sin & cos C -j- sin b sin c cos A.

En transposant cos a cos’ b, observant qnc cos a — cos a cos’ b ■cos a sin a b, et divisant tout par sin b sin a, on trouvecosasinô , „ . sin cens A

Mais

sine

sin asin C

:COs£>COSC-

sin a

sina

. , ; et par suite on a, pour la relation cherchée ,smA

cot a sin b— cos b cosC+sin C cot A.

On peut y faire différentes permutations entre les lettres, et onobtient en tout six équations^saviÿr : ^ j

[5] cot a sin b— cos b cos C-j-sin C cot A,

[6] cot b sin a=cos a cos C-f-sin C cot B,

[7] cot a sin c=cos c cos B-|-sin B cot A,

[8] cot c sin a=cos a cos B-|-sin B cot €,

[ 9 ] cot b sin c=cos c cos A -j-sin A cot B,

[10] cot c sin b— cos b cos A-j-sin A cot C.