64 PREMIÈRE PARTIE.

99 . 4° Relation entre nn côté et les trois angles. C’est la der-nière qui reste à chercher. Eliminons b et c entre les équations

[I] , [2], [3]. A cet effet, mettons d’abord dans la l re la -valeur decos c, tirée de la 3" : il vient, comme ci-dessus,

cos a sin b , „ . sin c cos A

- : -— cos ncosC 4- —— ; -- ;

sin a sin a

et cette relation, au moyen des égalités

sin b sin B sin c sin C

-—=- et -—— -—-,

sin a su: A sma sin A

se change facilement en celle-ci :

cos a sin B = cos b sin A cos C+cos A sin C.

En effectuant les mêmes calculs sur l’équation [ 2 ], ou mieux, enchangeant, dans la dernière, -a et A en b et B, et vice versa, on a

cos b sin A = cos a sin B cos C -f- cos B sin C.

Il n’y a donc plus qu’à éliminer cos b entre les dcuxéquations pré-cédentes. O 11 trouve ainsi, après toutes réductions, la relationcherchée entre A, B, C et a , laquelle, étant appliquée aux troisangles successivement, donne les trois équations

[ II ] cos A=—cos B cos C-f-sin B sin C cos a,

[ 12 ] cos B=—cos A cos C-f-sin A sin C cos à,

[13] cos C =—cos AcosB-f-sin A sin B cos c.

100. L’analogie de ces équations avec la formule fondamentale[ 1 ] est frappante et conduit à une conséquence remarquable. Ima-ginons un triangle sphérique A'B' C' dont les côtés a!, b', c', soientles suppléments des angles A, B, C : en vertu de la la formule [1]on aura

cos d— cos V cos c'-f- sin b' sin c' cos A' :or sin a—sin A, cos «——cos A, sin é'=sin B, etc.; donc

— cos A=cos B cos C -t-sin B sin C cos A'.

j . ? A fi

On tirerait de là, pour cos A', une valeur égale et de signe con-traire à celle que donne [11] pour cos a ; donc <2=180°—A'.Semblablement, i=180"—B' et c=180°—C'. Donc, un trianglesphérique étant donné , si l’on en forme un second dont les côtéssoient suppléments des angles du premier, réciproquement les côtésdu premier seront les suppléments des angles du second.