PREMIÈRE PARTIE.

ri

Par exemple, pour avoir <z, on se sert de l’cquation [11] n* 99,laquelle donne d’abord

ro« A 4-rosBrosC

co s a =-—- : -.

si u b si u IJ

Ensuite, par les transformaiions employées dans le cas cité,on trouve les expressions de sin \ a , cos( a, tanr \ a , lesquellessont plus commodes pour le calcul logarithmique. En posantA.-f-B + C = 180 , -[- 2 S, ces expressions sont

inia=Y/ /;

;a=\/'

cos

tang( a-

sinS sin (A—S)sinBsinCsin (B—S)sin(C-

-S)

sin B sinCsin S sin(A —

. / sin S si

\/ sin(B—S

■S)

S) sin(C—S)

Si les trois derniers cas ont une si grande analogie avec les troispremiers, c’est qu’en effet ils peuvent s'y ramener par les pro-priétés du triangle polaire (100).

Sdf les ess douteux des triangles sphériques.

118. Les seuls cas dans lesquels il y ait incertitude sur l’es-pèce des éléments inconnus sont le second et le cinquième. Je mepropose, dans cet article, de rechercher à quels symptômes on re-connaîtra qu'il doit y avoir deux solutions ou une seule, ou mémoque le triangle est impossible; et pour cela je vais établir d’abordplusieurs propositions sur lesquelles je m’appuierai.

Considérons sur une sphère un demi-cercle DCD' (fig. 31)perpendiculaire à un cercle entier BHD', prenons CD <90*, etmenons des arcs de grand cercle CB, CB', Cli,... du pointC aux différents points de la circonférence DHD'. ProlongeonsCD d’une quantité égale C D, et joignons C'B. Les trianglesCDB, C'DB ont un angle droit compris entre côtés égaux ;donc CB = C'B. Or on a CDC '<CB-f BC'; donc CD<CB.Donc 1* l’arc CD est le plus petit qu’on puise mener du point Cà la circonférence DIID' ; et par suite CI)' est le plus grand.

Soit DB' = DB : les triangles CDB, CDB' ont aussi un angledroit compris entre côtés égaux; donc CB' = CB. Donc 2* lesarcs obliques également éloignés de CD ou de CD', sont égaux ,