TRIGONOMÉTRIE. 73

Enfin soit DU>• DB : menons C'H, et prolongeons CB jusqu’àsa rencontre I avec C'H. Puisque l’arc CC' est moindre qu’unilemi-cercle, il doit être rencontré par le prolongement deCB, au delà du point C', ce qui exige que l’intersection I sefasse entre H et C'. On a donc C'B <C CI -)- lli, et par suiteC'B-f-BC <C'I-f IC. Mais on a IC <111 +PIC, et par suiteC'I-J-lC<CC'H-j-HC; donc, à plus forte raison, C'B-f-BCOG'H-fHC. Or C'B = BC et C'H = UC ; donc on a BC < IIC. Donc3 * les arcs obliques sont itautant plus grands qu’ils s’écartent da-vantage de CD, ou qu’ils se rapprochent davantage de CD'.

119. Maintenant supposons qn’on veuille construire un trianglespherique avec deux côtés donnés a, à, et l’angle A opposé à a.

D’abord je remarquerai que certains cas d’impossibilité sont in-diqués par le calcul même. Pour les faire connaître, je fais (fig.32et 33) l’angle CAB= Ael AC=à, je prolonge AC, AB, jusqu’àleur intersection E, puis j’abaisse CD perpendiculaire sur AE.C’arc CD doit être de même espèce que l’angle A (103); donc,lorsque A est aigu, CD est la plus courte distance du point C à lademi-circonférence AC, et c’est la plus grande lorsque A est obtus(118, 1°). Dans la première hypothèse, le triangle sera impossiblesi l’on a a < CD, ce qui donne sin a < sin CD ; et dans la secondeil sera impossible si l’on a «>■ CD, ce qui donne encore sin asin CD. Or, dans le triangle rectangle ACD, on a

1 : sin b :: sin A : sin CD = sin b sin A;donc, dans les deuxhypothèses, on aurait sin a <sinàsinA. D’unautre côté, quand on cherche l’angle B du triangle inconnu ACB,on a

. . . , . sinà>-inA

sma ;sm A :: sin à : sinB = — : -:

sina

donc celte valeur de sin B serait> 1, ce qui indique une impossi-bilité évidente.

Si l’on donnait a = CD, il n’y aurait que le seul triangle rec-tangle ACD qui fût possible; et c’est ce qu’indique encore la va-leur de sin B , laquelle devient sinB = t. Il est sous-entendu quel’anglo A n’est pas égal à 90*.

120. Laissant donc ces cas de côté, examinons les différentes re-lations de grandeur que peuvent présenter les données a, b , A.

Soit A<90°et £>< 90* (fig. 32). PuLq ;e A et b sont <90*,