TRIGONOMETRIE. 77
121. La propriété du triangle polaire permet d’appliquer cesrésultats au triangle dans lequel ou connaît les éléments A, B, a yce qui est le cinquième cas (116). Seulement il faut avoir soin d»changer partout a , ù, A en A, h, a, le signe > en < et le signe< en >.
Lorsque les données tombent dans l’un des cas où l’on ne doitavoir qu’une seule solution, le calcul ne laisse pas que d’en indi-quer deux. Mais, pour discerner celle qui doit être conservée , ilsufîira d’observer que les plus grands angles doivent être opposésaux plus grands côtés, et réciproquement.
Supposons que les données soient A=112'’, <2=102", è=106°.Dans le tableau précédent, parmi les cas qui correspondent àA>90", je considère ceux où l’on a è>-90 ', et parmi ceux-ci jeremarque celui où l’on a arijb. J’observe en outre qu’on aa -(-6=208°; donc a -f- bj> 180°. Alors je conclus, d’après letableau, qu’il n’y a qu’une solution : et, puisque b est >- a ,l’angle B est > A, donc B est obtus.
Application de la trigonométrie sphérique»
122. Exemple I (fig. 34). Réduire un angle à l’horizon.
Soit BAC un angle situé dans ûn plan incliné, et AD la ver-ticale qui passe au sommet A. Menez à volonté le plan horizontalMN qui rencontre les lignes AB, AC, AD, en E, E, G : l’angleEGF est la projection horizontale de l’angle BAC, ou, en d’autrestermes, c’est l’angle BAC réduit à l'horizon. C’est cet angle EGFqu’il s’agit de calculer, en supposant connus les angles BAC, BAD,CAD, qu’on mesure avec l’instrument.
La solution graphique serait aisée ; car la ligne AG étant arbi-traire, on aurait les données suffisantes pour construire d’abord lestriangles reclancles EAG et FAG, puis le triangle EAF, puis enfinle triangle EGF.
Le calcul de l’angle EGF est également facile. Si on décritune sphère du centre A avec un rayon quelconque, les droitesAB, AG, AD, déterminent un triangle sphérique BCD,dont lescôtés sont connus en degrés au moyen des angles donnés, et dontl’angle BDC n’est autre que l’angle cherché EGF. C’est donc parle premier cas des triangles sphériques quelconques que la ques-tion sera résolue (112), c’est-à-dire qu’on prendra la formule