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PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE IH.

le quelques ioii51ui.es qui servent dans les .Hathématiques élevées.

DEVELOPPEMENT DU SINUS ET DU COSINUS EN SERIES. RESOLUTION DEL'EQUATION BINOME ET DE L'EQUATION DU 3e DEGRÉ.

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Formule iUMoivre. Sens multiple qu’on y doit remarquer.

124. Cette formule, à laquelle on attache le nom du géomètrefrançais qui l’a découverte, est la suivante:

[A] (cosy —j-[/—1 sin ?)"= cos—1 sin;itp.

Elle exprime que, pour élever le binôme cos^-j-l/—lsiny àune puissance quelconque, il suffît de multiplier l’arc ? par l’ex-posant de celte puissance. On peut y mettre indifféremment-j-ou— devant [/ — 1 : car cela revient à changer y en —<?.

Le cas où l’exposant est entier positif est le seul dont j’auraibesoin dans la suite : c’est celui que je vais considérer d’abord.Par la multiplication on trouve

(coscp-f-l/—1 si n ?) ( cos£ -j- [/— 1 sini) =cosocos]—sin * sin -l -f-1/ — 1 (sin ? cos y -f- cos o sini ).

Or, d’après les formules connues [28], la partie réelle de ce pro-duit est égale à cos (? + ]')> et la partie imaginaire est égale àV —1 sin (ÿ-j-'j») ; donc

(cOSy-j-l/—I sillo)(cOSy -f- [/—1 sinÿ) =cos (» ) -f-1/—1 sin (y-f-’-!')-

C’est-à-dire qu’en multipliant entre elles deux expressions de laforme cos ®-j- [/— 1 sin y, on obtient encore une expression sem-blable, dans laquelle les deux arcs sont ajoutés entre eux. Pourmultiplier le produit par un nouveau facteur de même forme, ilsuffira donc d’ajouter encore le nouvel arc aux deux autres, et