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rREMIÉRB PARTI!.

J’ai lai»§é de côté les exposants irrationnels, attendu qu’ils n’of-frent aucun sens, à moins qu’on ne les remplace par des nombrescommensurables, qui d’ailleurs peuvent en différer aussi peu qu’onvoudra. Et quant aux exposants imaginaires, ils ne sont en eux-mémes susceptibles d’aucune interprétation.

125. La formule [A], qui est si simple et si élégante, a un défautbien grave, quand l’exposant est une fraction. En effet, le premiermembre, étant alors équivalent à un radical, doit avoir plusieursvaleurs, et cependant le second membre n’en présente qu’uneseule. Les explications qui suivent ont pour objet de corriger cetteimperfection.

Revenons à la formule [2], dans laquelle n est un nombreentier positif. D’après les principes de l’algèbre, le premier mem-

n . _ . _ —

bre, qui équivaut à \/cos<p-{-|/—lsin?, doit alors avoir nvaleurs différentes -, et, pour que le second les donne toutes, je vaismontrer qu’il suffit d’y remplacer ? par tous les arcs qui ontmême sinus et même cosinus que <p lui-même.

L’expression générale de ces arcs est ?-{-AC, C désignant la cir-conférence entière, et A un nombre entier quelconque positif ounégatif. En mettant «p+AÇ au lieu de y, le second membre de laformule [2] devient

L5]

cos

?+*C

-1/—1 sin

<P+AG

et, dans cet état, je dis qu’il a précisément les mêmes valeurs quele premier membre.

D’abord, puisqim n est entier, il est clair, en vertu de la for-mule [1], qu’en élevant ce second membre à la puisse” «, onretombe sur cos ? -j- \/ •— 1 sin y.

En second lieu, si on y fait successivement A=0, A = l, A=2,...A=« — 1, on obtient n valeurs différentes. En effet, soient deuxquelconques de ces valeurs,

ip-f-aC . .cos- \-V-

-1 sin

ÿ-j-aC

et

H-,sc il/ -

cos —-1-1/ -

-lsin

?+?C

dans lesquelles a et p sont des nombres entiers <«. Pour qu’ellesfussent égales, il faudrait qu’il y eût séparément égalité entre lesparties réelles, et égalité entre les parties imaginaires j donc

®-j— fîC _

la différence des deux arcs et devrait étrq égala