PREMIERS rARTIK.

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En ajoutant cette égalité à la précédente, et ensuite en la retran-chant, on trouve ces valeurs

[3] cos n<f

[4] sin »?

_(coso-j-l/—1 sin (cos?—|/—lsiny)*

~ 2 ’

_(cos <p —lsin?) n —(cos ?—{/—1 sin y)

129. On peut effectuer les puissances par la formule du binôme ;et, en supprimant les termes qui se détruisent, on obtient

[5] cos rttp—(cos <?)"— -- (cos ÿ)" - * (sin ?)*

1.2

n(n—l)(n—2) (n—3)

1 . 2 . 3.4

(cos<f)"“\'sin<p) 4 — etc.

[6] sin«? = ^(cosif)" 1 sin®— ———— (coss)" -5 (sin®)*

1 4 " *

+

1.2.3

n (n—1 ) (n—2) (n—3) (n—4)

1 . 2 . 3 . 4.5

(cos ÿ)"~‘ (sin ?) e — etc.

Ces formules expriment le sinus et le cosinus du multiple re?, enfonction de ceux de l’arc simple. La loi des termes y est évidente ;et, comme la formule du binôme de laquelle elles dérivent, ellesdoivent se prolonger jusqu’à ce qu’on trouve un terme nul.

On peut encore parvenir à ces formules au moyen de la seuleéquation [1]. En effet, le développement du second membrecontiendra une partie réelle et une partie affectée de —1 ; et,pour que l’équation subsiste, il faut que dans les deux membres,les parties réelles soient égales entre elles, et les parties imagi-naires égaies entre elles, ce qui ramène aux deux formules.

130. Dans les applications élevées des mathématiques, on a sou-vent besoin d’exprimer (sin?)" et (cosif)”en fonction du sinus etdu cosinus des arcs multiples. Voici comment on y parvientlorsque n est entier positif, ce qui est le cas ordinaire. Posons

cosf-j-l/—lsin<f=«, cosf—[/—lsin<p=«'.

On aura 2cos<p=«-j-e, 21/—lsinip=«—e; donc

a*(cos ? r=(it-fe)", (3l/d )"(sin?r = («—e)*,