TRIGONOMÉTRIE.

rr

on bien, en développant les puissances,

[7] 3T(cos r r=ur+ \ -f etc-,

[8] (2l/^ï)"(sin<j>)'*=M*— | u"-V+ ”^Y ' u-V —etc.

Pour le moment, ne considérons que la formule [7], et sup-posons d’abord que n soit un nombre impair 2m-j-l. Par ce quia été dit en algèbre, on sait que les termes également éloignésdes extrêmes ont des coefficients égaux, et que le nombre destermes de la formule est 2/»-}-2. A l’aide de ces remarques,il est facile d’apercevoir qu’en prenant la deuxième moitié destermes dans un ordre inverse, et, en l’écrivant au-dessous de lapremière, on aura

2" (cos ? ) n = n* 4- - v...

1

+p n + _ bp n-...

»(«—l)(w—2)...(m-f2)

1.2.3. m

n(n— 1)(«—2)...(m+2)

-r-r—r-** s? ,

ou bien, ce qui est la même chose,

2*(cos *)"= (u*4- O + j uv (a— -f i/— ) -f «V(u"-*+ v^*)

.

Mais la formule de Moivre donne en général

n‘-f-^*=(cosip-)-l^—1 sin<p)‘+(cos©-—!/—lsino) 11

=cosfe-f-l/—1 sin&p-j-cosÆ®——î sin&p=2cosA:?;et, d’un autre côté, les puissances du produit uv sont égalesà 1, car on a •

mi>=( cosip-fi/—1 sin<?)(co8®—l/~l si n æ)=cos’® -f- ain*<p=1.En conséquence *de ces remarques, l’expression de 2”(cos ?)" sesimplifiera ; et, en divisant tons les termes par 2, il viendra

[9] 2"'-' (cos <p) n == cos ntp -f- - cos (« — 2} <p -|—cos ( n — -i ) ®

n(«—1) « — 2)...(m4-2)

....H-cos*

^ t .2.3. m T

Supposons en second lieu que n soit un nombre pair 2 m. La

formule [7] aura 2w-j-1 termes, et si on décompose le terme du