*8 PKEMIBKK PAHT1B.

milieu en deux antres, chacun égal à la moitié de ce terme, ontrouvera, par des réductions semblables aux précédentes,

[10] 2 K ~‘(cosy)"=cos m -f-^cos [n —2)y-j- ~ 1 ^ cos(/z —4)?

. , n(n —1 )( n —2L..(/w-f-1)

1.2.3. m '

Maintenant considérons la formule [8]. Les termes sont affectésaller ativement d<s signes-j-et — ; de sorte que si n est unnombre impair 2r«-|-1, les termes également éloignés des ex-trêmes auront des co ITirient'égaux, mais de signes contraires Parsuite, en raisonnant comme pour la formule [7], il est facile devoir qu'on aura

C2 ]/— î)”"+' (sin= u n — e n —”ur u n -—v*-’ ) -f-

.

1.24 1 as, . . m

Pour opérer les réductions, on observera encore que ut>= 1,qu’en général u* — e* = 2l/—1 sinÆœ. En conséquence les deuxmembres seront divisibles par _ J/— 1, < t il restera

—0”"(siiHf)’ m+ '=sinn<p-sin(n-2 y-f-— - ^ ^ in(/i-4-jîj>

1 t *2

,n(n —1)(m— 2 'i...(» 2 -4-2) .

•••• —-TITT-- Slllu.

Lorsque n est un nombre pair 2 m , les termes également éloi-gnés des extrêmes, dans la formate [8], ont des cocffici aits égauxet de même signe; et en raisonnant ici comme dans le cas ana-logue de la forin le [7], on trouve facilement

[ 1 2]5^2l/-1 )”* (si n ? ) ,m = cos n<f — - cos n - 2) tp -)- ————— cos (n —4) ?

1 7 i (n — 1 )(« — 2 )... (//*-)—1 )

. 1 . 2 . 1 ..'.. .//« '

Les formules [9], [10], [fl] 12], sont celles que je voulaisétablir : elles servent à convertir les puissances d’un cosinus oud un si 'us en nne suite de termes dont chaeuh contient, au pre-nne degré seulement, le sinus ou le cosinus d’un arc multiple.

On ne peut pas manquer d'observer que dans les deux dernières((►rmnU# l’imaginaire y 1 étant élevé à une piijssenee fiai?*?