TRIGONOMETRIE,

devra donner un facteur réel égal à -f-1 ou — 1, selon que m serapair ou impair. On doit remarquer aussi, peur la commodité ducalcul, qu’en suivant la loi indiquée par les premiers termes, ondoit s’arrêter dès qu’on en trouve un qui renferme un arc négatif,en ayant soin de ne prendre que la moitié du dernier quand il ren-ferme l’arc zéro.

Dêvelrpppnipnt du sinus et du cosinus en seri”s<

131. Voici comment Edlkr déduit, d* s formules [5] et [6] dun° 129, les séries qui expriment le sinus et le cosinus en fonctionde l’arc. On peut, sans que n cesse d’être entier, disposer de?de manière que «? soit égal à un are. quelconque x. Posons

JT

donc «?=.r,oii aura n =-, et par suite les formules pourront

s’écrire ainsi :

x(x— <p)

[1] C0S-r = (r0S?)'

x(.r —ç) !x —2?) (x

1.2.3.*

x'T -'üi (x -2?)

[2] dn

x r x — oèfx — 2?) (x ——4?)

1.2.3.4 5

Con evons que y diminue jnsqu’à zéro, le nombre » devraaugmenter jusqu’à l’infini : alors les formules ci dessus ne conser-veront aucune trace de ? et de «, et e les ne contiendront plusque le seul are x. C’est en effet ce qui doit arriver à des formulesdont l’objet est d’exprimer le sinus et le cosinus d’un are en fonc-tion de cet arc. Quand ? devient zéro, on a cos ? = 1, et aussi

sin? sm?

■—=1 (51;. Admettons que les puissances de cos? et de-

?

soient aussi alors toutes égales à l’unité, quelque grands que soientles exposants : les formules ci-dessus deviennent

[3] cosj:— 1

— -|-----

12 ‘ 1.2.3.4 1.2.3.4 5.6

•r 3 x r > .rr

x' 1 . x 4 x c ’

-j- etc.

[4] sinx=o.’

1.2.3

1.2.3 4.5 12,3,4.5.6.7

1.2.3.4 5.6

-fetc.