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Comme le nombre n est devenu Infini , U s’ensuit que ces séries nedoivent point s'arrêter. Mais elles n’en sont pas moins propres àdonner des valeurs très-approchées du sinus et du cosinus, sur-tout quand l’arc x est une petite fraction ; et ce cas est le seul danslequel les géomètres en fassent usage (*).

132. Au premier coup d’œil, il semble évident, ainsi que je l’ai

admis,que toutes les puissances décos? et^? doivent donner

v

l’unité, quand on fait décroître ? jusqu’à zéro. Mais en y regar-dant de plus près, on aperçoit une difficulté qu’il faut résoudre.Pour être mieux compris, je reprends les choses de plus loin.

Soit l’expression u* dans laquelle u et v sont des variables toutà fait indépendantes l’une de l’autre. Si on prend pour o unnombre positif constant, et qu’on fasse augmenter u de 0 à 1, laquantité u v augmentera elle-même depuis 0 jusqu’à 1. Si c’est uqui demeure constant, mais<;i, et qu’on donne à v de très-grandes valeurs, la quantité u ’ sera très-petite, et sa limite, cor-respondante à p=-(-3o, sera zéro. Or, maintenant concevonsque u croisse de 0 à 1 en même temps que v augmente jus-qu’à -f- =». Tant qu’il n’existe aucune relation entre u et e, onpeut toujours imaginer entre ces variables une liaison telle que lalimite de correspondante aux valeurs «=1 et e=-f soitou 0,ou 1, ou toute autre grandeur comprise entre 0 et 1 : c’est-à-dire qu’il y a alors une véritable indétermination.

Mais il en est autrement lorsque les variables « et v ne sontpoint indépendantes. Imaginons, par exemple, qu’elles soient desfonctions d’une même variable t , et que ce soit la variationde t qui fasse croître u jusqu’à 1, et v jusqu’à -f-c». Il fautalors examiner comment se balance l’augmentation que tend à

O Ces deux série» sont de la nature de celles qu on nomme convergentes.Pour passer d*un terme au suivant, on multiplie constamment ce terme parx*, tandis qu'on le divise pur deux nombres entiers qui vont toujours en aug-mentant (je fais en ce moment abstraction du signe) : on est donc assuré qu’ily aura dans ohaque suite un terme à partir duquel tous les antres seront in-définiment déctois.sants. D'un autre cAté, le& tco mes étant alternativementpositifs et négatifs, il est facile de von qu'en arrêtant les séries à l’un quel-conque des termes- décroissants, l’erreur que l on commettra sera moindre quele terme suivant; par conséquent cetteerieur peut êtie rendue aussi petitequ’on voudra. Déplus amples détails sur ce sujet appartiennent à l’algèbre.