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la formule de Moivre donne ar*=rcos«tp-|“l/—1 sin «y ; parconséquent toutes les valeurs de y déterminées par l’égalité

cos/ep + l/—1 sin/iy=-f-l,

donneront des valeurs de .r qui seront racines de l’équation [1].Dans l’usage qu’on fait ici de la formule de Moivre, il suffit qu’elleail été démontrée-parles exposants entiers positifs.

Pour satisfaire à cette dernière égalité, il faut que la partieimaginaire |/—1 sin «y s’évanouisse; d’où l’on conclut que «y doitêtre un multiple de la demi-circonférence. Ensuite il faut qu’onait cos «y=1, et cela exige que «y soit un multiple pair de lademi-circonférence; donc en désignant par H la demi-circonfé-rence, et par 2* un nombre pair quelconque, on devra avoir

- 2*11«y==2*II, d OU y=-,

et par suite

2*H

- co s -

; . 2*H- v — l Sin — .

En mettant partout — devant 1/—1 le raisonnement eût été lemême : ainsi on aura des racines de l’équation x n = i , en prenanttoutes les valeurs de x comprises dans l’expression

[]

2*11 , , „- . 2*11

x =cos-± 1/— I sin-.

n n

L’équation [1] a n racines, et l’on sait que toutes ces racines sontinégales. Or, dans la fo mule ci-d< ssus, on peut donner à * toutesles valeurs entières possibles, positives et négatives; et je vaismontrer que de cette manière on obtient n valeurs différentes pourx , et qu’on n’en obtient pas davantage •. ces n valeurs seront doncles n racines de l’équation [I].

D’abord il est inutile de donner à *des valeurs négatives: car,en mettant —* au lieu de * , les deux valeurs de la formule [/] nefont que se changer l une dans l’autre.

En second lieu, il est inutile aussi de prendre k=n ou >«, caron peut ôter de * le plus grand multiple de n qui y soit contenu ;

2*11

cela revient à retrancher de l’arc-une ou plusieurs circon-

n

féreners, ce qui ne change ni le cosinus ni le sinusEntln, si on considère, entre 0 et «, d. s nombres *’et n—Végalement éloignés de res deux extrêmes, les valeurs correspo»-