9* PREMIÈRE PARTIE.

dantes de x seront les mêmes. En effet, soit k—n —A', il vient

2 [n— A')H —. 2(n—A”|H•r=cos-±1/—tsin-

=cos-

—2#H

-±: V — 1 sin -

2^ H . - .=cos-=p|/—1 sin

n2#H

n.

et ces valeurs sont les mêmes que celles qui répondent à A=A'.Il est donc inutile de donner à k des valeurs >■ £ n ; et par consé-quent, soit qu’on suppose n égal à un nombre pair 2 p ou à unnombre impair 2/»-|-l, on pourra se borner à prendre pour k lesvaleurs A=0; 1 , 2,...p.

Il reste à prouver que de cette manière la formule [a] donnetoutes les racines que comporte l’équation [1], et c’est ce que jevais faire.

Si l’équation est de la forme x' r = 1, la formule [a] devient

kll . AH

x — cos — — 1 sm —.

P P

Pour les nombres extrêmes A=0 et k=p , on trouveet x= — 1 . Pour les nombres intermédiaires 1 , 2 , 3 ,.../?— 1 ,l’arc est compris entre 0 et 180 °, donc le sinus qui multiplie[/—{ne devient pas nul; donc les valeurs de x sont imaginaires.De plus, parmi ces dernières, il n’y en a aucune qui se répète :car, dans les deux racines conjuguées qui font partie d’un mêmecouple, c’est-à-dire, qui résultent d’une môme valeur de A, l’ima-ginaire l/-^l a des signes contraires; et, dans les couples prove-nant de valeurs différentes de A, les parties réelles sont différentes,attendu qu’elles sont les cosinus d’arcs qui vont en croissant de0 à 180 °. En réunissant à ces valeurs imaginaires, dont le nombreest 2/> — 2 , les deux valeurs réelles-(- 1 et — 1, on a en tout 2 p ra-cines pour l’équation x’ p =1 , ainsi que cela doit être.

Si l’équation [ 1 ] a la forme = 1 , la formule [a] devient

2AH

x=cos-

±:]/—1 sin

2AH

2/>-}-l ^ 2/?-}-1

Dans ce cas, il n’y aura qu’une seule racine réelle x=-|-l, la-quelle répond à k—0 ; toutes les autres sont imaginaires ; et d’ail-leurs il est clair que le nombre total des racines est égal à l’expo-sant 2/»-f-^,