TRIGONOMÉTRIE.

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Autre moyen de résoudre le 3 e degré par la trigonométrie.

140. Quand on connaît une ligne trigonomctrique correspon-dant à un arc quelconque, si l’on veut trouver une ligne trigono-mélrique correspondant à un arc qui soit la moitié, le tiers, etc.,du premier arc, on arrive à des équations dont la comparaison aveccertaines équations données peut servir à découvrir directementles racines de ces dernières. C’est ce qu’on va voir pour l’équationdu troisième degré.

Reprenons l’équation sans second terme

[t] æ' SJ r ’ipx-\-'2.q—Q.

Soit ? un arc quelconque, si on regarde cos® comme donné etqu’on fasse cosj?=z, on a trouvé (n° 33), pour déterminer s,l’équation

[2] S 3 —Icos tp=0;

et, si on supposé que ? soit l’arc positif moindre que II correspon-dant au cosinus donné, il est démontré que les trois racines de l’é-quation [2] sont

[3] z=cos;?, z=cos)(2H—|— y), s = coSï(2II—?)•

Pour rendre l’équation [2] identique avec [1], il faut poserdeux conditions : il faudrait donc qu’il y eût deux indéterminéesdans l’équation [2], et il n’y en a qu’une seule,?. On en intro-

X

duira une seconde p en faisant x=;pz, d’où z= -. Par cette

P

transformation, l’équation [2] devient

[4] Æ' 3 -—;p 3 cos?=0;

et en multipliant par p les valeurs [3], on aurait les racines decette dernière équation

On la rendraidentique avec l’équation [1], en posant — l f>’ — 3p,— t- p 3 cos ?= 2q , d’où

_ q

P=2l/— p, cos?=—

pV—p

Pour que l’arc ? soit réel, il faut d’abord que cos? le soif, ce quiexige que p soit négatif dans l’équation [1]. En conséquence, j’y