ÜEUXIKMK PAr.TlE.

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Cela posé, les triangles semblables OQP, CMP, donnent la pro-portion QO : MC :: PO : PC; mais PC=x-{-«: donc

ax

QO ; a x : x 4-a, d’ou QO——;—.

> ' x -f- a

Par suite, le triangle OQP donne PQ’ = x' 1 Or, PQ doit

Cl* X*

être égal à m ; donc x* -f ;—;—-7 = m \ 011 bien > en réduisant,

° ' (x-f-a)

[4] x' -j-Srtx’ 1 —(m*—2 a*)x *—2 am*x — a'm* — 0.

Ainsi la question dépend d’une équation du 4 e degré.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, la ligne QP placéedans l’angle BOA'. Or la question demande qu’elle soit placéeentre les droites AA', 1311', «ans désigner en particulier aucundes quatre angles droits. 11 suit de là qu’on peut remplir lesconditions de l’énoncé de quatre manières, ainsi que l’indiquela figure. Les deux solutions représentées dans les anglesBOA', AOB', existent toujours ; mais les deux autres, représentéesdans l’angle AOB, n’existent que lorsque la ligne donnée m estsuffisamment grande.

Pour former les équations qui déterminent les trois dernièressolutions, il n’y a que de légers changements à faire aux raison-nements précédents. En désignant par x l’inconnue OP', ou OP",ou OP'", on arrive toujours à l’équation

a - 1 —x 3 — ( m* — 2a*)x*-\-2 ctnfx — a? ni* — 0 .

Une observation se présente d’elle-mémc : c’est qu’en changeantdans cette équation x en — x, on retombe sur l’équation [4]; donccelle-ci suffit pour donner toutes les solutions de la question,pourvu qu’on ait soin de porter les valeurs négatives de x ducôté OA, tandis que la valeur positive se portera du côté OA'.

154. L’équation [4] est complète; mais, par un choix conve-nable d’inconnue, on peut parvenir à une équation plus simple etpl s facile à résoudre. Soit toujours MQP (fig. 40 J une droite quisatisfait au problème, et soit 11 le milieu de PQ : je prends Milpour inconnue et je fais Mil— y. J’aurai

m

mq=^_ m r=>■+-, cp

■=V/(

•?'+ TT J