GÉOMÉTRIE AX.U.ÏTIQCF. .4 DEUX DIMENSIONS, 117

Ensuite, à cause de MC parallèle à QO, on a

CP: OC :: MP: MQ, d’où MQxCP=OCv MP.

En remplaçant les lignes par leurs valeurs, cette égalité devient

ou, en élevant au carré et réduisant,

a’ni

)y 2 +

0

équation qui se résout par le second degré. On en tire d’abord

711

= «*4-- rhffll/a’+w*’,

1 JL '

et ensuite

La première de ces deux valeurs est toujours réelle ; c'est elle quidonne les deux lignes MQP, MP'Q'. La seconde peut devenir ima-ginaire, et c’cst elle qui donne les lignes P"MQ'', P"'MQ'". Quantaux valeurs négatives de y, on n’en lient aucun compte, parcequ’elles sont inutiles.

133. 11 était facile de prévoir que l’inconnue y ne dépendrait quedes équations du second degré. En effet, comme le point M est éga-lement éloigné des côtés de l’angle AOB, il est évident que, si onconnaît la solution MQP, qu’on prenne OP'=OQ, et qu’on tireMP'Q', on aura P'Q' = PQ=/«; donc P'Q' sera une autre solutiondu problème. Pareillement, si P"Q" est une droite égale à m, enprenant OP'" =OQ" et tirant P'"MQ'" on aura aussi P'"Q'"=m.Il est également évident que, si on prend les milieux II, H', H", H'",de PQ, P'Q', P"Q", P"'Q'", la distance MH' sera égale à MH, et ladistance MH'" égale à Mil"; donc, en adoptant pour inconnue la dis-tance du point M au milieu de la droite égale à m , qui doit être in-scrite, on est certain que cette inconnue n’aura que deux valeurs dif-férentes, et ne devra par conséquent dépendre que du second degré.

Il n’en était pas ainsi lorsqu’on prenait pour inconnue la distancedu point O au point où la droite demandée coupe la ligne AA'.Alors l’inconnue, qui était désignée par x, devait avoir quatre va-leurs tout à fait différentes, lesquelles sont: jp=OP, 3 ?=*—OP*,•*■=■= OP", Æ^^OP ".