GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 119

Soit donc NR=z. Je fais de plus MQ=«, et j’abaisse PS per-pendiculaire sur MR. Les triangles MNQ, PRS sont égaux, car ilssont rectangles, et on a MN =PS ; donc PR=MQ= u. Cela posé,le triangle rectangle MPR donne les deux égalités

MR’=MP’+PR% MR X PS=MP X PR •

En remplaçant les lignes par leurs désignations analytiques, ilvient

(z -f- a ) 2 = {m -f- u ) 3 -f- , (z -j -a)a=(m -f - u) u j

on a ainsi deux équations entre deux inconnues. Si on fait passer lepoint P dans les quatre positions qu’il peut occuper, on verra queces équations subsistent encore, avec cette différence que z changede signe quand le point R tombe du côté K R', et que u en changeaussi quand le point Q tombe de l’autre côté du point M par rap-port au point P, lequel doit toujours rester sur la ligne AA'.

On élimine u en retranchant de la première équation deux foisla deuxième, et il vient

z a = a 3 -)- m % d’où z = ±\/a‘ :

résultat d’une simplicité inespérée, et qui donne lieu à la construc-tion suivante.

Perpendiculairement à MN, prenez MT=wi, et tirez NT:on aura NT=|/V-f -m\ 11 faut donc porter NT, de N en Ret en R' sur MN prolongée , puis décrire, sur MR et MR',des demi-circonférences qui rencontrent la ligne AA' aux pointsP, P', P", P'" ; et alors on obtient les solutions du problème entraçant les quatre droites MQP, MP'Q', P"MQ", P'"MQ"\ Lesintersections P" et P'" disparaissent quand on a MR' <C 2MC,c’est-à-dire 1/ u J m 2 — a < 2 a. De là on déduit aisémentm < 2« 1/ 2, ou bien m •< 20M, en remarquant que la dia-gonale OM = «!/2 ; donc la plus petite ligne qu’on puisse me-ner par le point M, dans l'angle AOR, est égale au double de ladistance OM .

La construction précédente était connue de Pappus , géomètred’Alexandrie , qui vivait vers l’an 400 de l’èrc chrétienne.

158. Après les développements dans lesquels je viens d’entrer, lelecteur à qui les théorèmes de la géométrie sont familiers trouverapeu de difficulté à mettre les problèmes en équation.