GÉOMÉTRIE ANAr.YTIQUE A DKÜX DIMKXSIONS, 121

La première valeur est positive et moindre que a-, donc elle dé-termine véritablement un point M situé entre A et B, ainsi quel’exige l’énoncé. Mais la seconde est négative, et, par cette raison,ne saurait convenir à la question.

Changeons, dans l'équation, le signe de jt, elle devient

[ 2 ] x^afifix)-,

et en prenant positivement la valeur de x, qui tout à l’heure étaitnégative, on aura l’expression

qui devra satisfaire à l’équation [2]. Or cette équation est préci-sément celle qu’on trouve , si on cherche, sur le prolonge-ment de la droite BA au delà de A, un point M' tel que la dis-tance AM' soit moyenne proportionnelle entre la distance BM' etla droite donnée AB. De là il suit qu’en portant la valeur po-sitive de x du côté AB à droite du point A, et la valeur négativede x, prise abstraction faite de son signe, du côté AXà gauche dupoint A, on aura toutes les solutions du problème proposé, géné-ralisé ainsi qu’il suit :

Sur une droite indéfinie , qui passe par deux points donnés Aet B, déterminer un point dont la distance au point A soitmoyenne proportionnelle entre sa distance à l’autre point B et ladistance donnée AB.

Cet énoncé est dégagé, comme on voit, de la restriction quiexigeait que le point demandé fût placé entre A et B, et nonailleurs.

101. On aurait pu proposer d’abord ce dernier énoncé. Alors,considérant le problème comme résolu, et supposant que le pointM en remplît toutes les conditions, nous aurions lait encorel’inconnue AM = x , et nous serions arrivés à la même équa-tion [1], et aux mêmes valeurs de x. Blais il est évident que nousaurions introduit, dès le commencement, une restriction étrangèreà l’énoncé : car nous aurions assujéli nos calculs à la suppositionque le point cherché BI fût placé entre les points A et B. La valeurpositive est la seule qui réponde à cette hypothèse ; et la valeurnégative, étant prise positivement et portée du côté AX opposé àcelui où l’on a cherché le point BI, déterminera la seconde solu-tion du problème général.