122 DEUXIÈME PARTIE.

Ainsi, la valeur négative sert tantôt à compléter la résolutiond’un problème, dont la question proposée n’est qu’un cas parti-culier, tantôt à lever une restriction introduite pour faire les rai-sonnements et les calculs. Mais ce qu’il faut remarquer dans tousles cas, c’est que cette valeur, prise en grandeur absolue, a étéportée du côté opposé à celui où devait être située la distance cher-chée. C’est pourquoi nous établirons le principe suivant :

Si on emploie l’algèbre pour résoudre un problème de géométrie,et qu’on prenne pour inconnue une distance comptée sur une lignedonnée , à partir d'un point fixe situé sur cette ligne, les valeursnégatives de l’inconnue devront être portées dans un sens opposé àcelui où l'on a supposé que cette distance était placée.

Au fond, ce principe ne diffère pas de celui qui a déjà étéétabli dans la première partie (7) ; et je dirai aussi qu’il n’est pasdu nombre de ceux qu’on puisse démontrer àpriori. On y parvientpar analogie ou par extension d'idées, et les applications viennentensuite le confirmer.

162. Je vais encore me servir du même problème pour prému-nir le lecteur contre une erreur grave, dans laquelle on tombequelquefois.

Je n’ai pas supposé que le point cherché pût se trouver ducôté IÎY, parce que, pour un point quelconque N situé de cecôté, la distance AN étant plus grande que A11 et que BN, onne saurait avoir AIN 2 ^ AB X BN, ainsi que l’exige la question.Mais admettons pour un moment que cette remarque ait échappé,qu’on veuille déterminer le point N d’après la condition AN 2 =ABxBN, et qu’on prenne pour inconnue la distance BN. Enfaisant BN = x , on aura AN = a -(- x , et l’équation à résoudresera

(a-j-x) 3 =ax, ou x 3 -j- ax -j- a 3 = 0.

On en tire

valeurs qui sont imaginaires, et qui indiquent une impossibilité.Mais on se tromperait grossièrement si on concluait que l’impos-sibilité se trouve dans la question même : car ce qui a été ditplus haut montre le contraire. L’impossibilité réside ici, toutentière, dans la supposition que le point cherché soit placé du