12i DF.UXIÊ.UE PARTIE.

été prise pour unité , l’équation doit être homogène par rapport àces lettres, ou être la somme de plusieurs équations homogènes (*).

Cl* principe se vérifie sur toutes les égalités qui sont établies parles théorèmes delà Géométrie, et il est évident quelle doit égale-ment avoir lieu pour toutes les égalités qui se déduisent de celles-làpar les calculs algébriques. Mais une démonstration générale estnécessaire, et j’ai proposé la suivante.

Pour mieux fixer les idées, je me servirai d’une équation parti-culière. Soit celle-ci,

[I] a?b \/ac-\- \/ah — [/cd—j 4- — = 0,

b ac

qui n’est point homogène par rapport à a, b, c, d. Supposons queces lettres représentent des lignes, et admettons qu’aucune ligneparticulière n’ait été prise pour unité, ou, en d’autres termes, quel’unité soit restée indéterminée.

Remarquons que dans cette équation les opérations indiquéessont toutes des opérations de calcul ; de sorte que cette équationne peut avoir aucun sens, à moins qu’on n’y regarde les lettresa , b,c , d comme représentant non pas les lignes elles-mêmes,mais bien les nombres ou rapports qu’on obtiendrait en mesurantles lignes avec une unité linéaire. C'est en effet de cette manièreque l’équation doit être comprise; mais afin d’éviter tonte confu-sion, je désignerai pour un moment, par A,B, C, D les ligneselles-mêmes, et je ne considérerai plus a,b,c,d que comme desimples rapports. Par hypothèse, l’unité est restée indéterminée:prenons-la à volonté et nommons-ia Alors les lettres a, b, c,d,dans l’équation [1], pourront être regardées comme les rapportsdes lignes A, B, C, D, à la ligne)..

B’un autre côté, il est clair qu’au lieu de rapporter directementune ligne P à l’unité )., on peut évaluer d’abord P et l en nombresau moyen d’une ligne quelconque p, et qu'en prenant ensuite lerapport de ces deux nombres, on aura le rapport de P à

(‘) Une expression ou une équation est dite homogène par rapport à cer-taines lettres quand tous les termes sont de môme degré par rapport à ces

abc

lettres. Ainsi l'équation uaa:+3a \/bc=bx — -— est homogène par rapport

à n, b,e, x; et le degré de l'homogénéité est ’i, parce que tous les termessont du a c degré.