(’.ÉOMÉTMP, ANALYTIQUE A DK UN DIMENSIONS. 131

un produit de deux lignes. Soit b' le carré équivalent, faisons dansl’équation toutes les combinaisons que peuvent donner les signesde ses termes, et on aura les quatre suivantes :

[1] X‘—ax = — b 1 , [2] x’-fax — —

[3] x* — ax—-\-b ' > , [4] x'-\~ax=z -J- b*.

En tirant de ces* équations les valeurs de x t on n’aura que desradicaux du second degré ; mais je vais faire voir qu’il n’est pasnécessaire de les résoudre pour en construire les racines.

La première équation, x 1 — ax— — b\ étant mise sous laforme

x ( a —.r) =

montre que x et a—x sont deux lignes dont la somme est égaleà une longueur donnée a , et dont le rectangle est égal à un carrédonné b'. On décrira donc ( lig. 43 ) un demi-cercle sur un diamè-tre AB égal à a-, perpendiculairement à AB, on élevera BGégal à b ; puis on mènera, parallèlement à AB, la ligne CF quicoupe la demi-circonférence en D ; enfin on abaissera DE per-pendiculaire sur AB. Les segments BE et AE seront les valeurs del’inconnue. En effet, soit x l’un des segments, l’autre sera a — x.Or on a BE X AE == DE 1 ; donc x ( a — x)—b', ce qui est l’équa-tion à résoudre.

Si BC = ^AB, ou b‘ 1 = \a‘‘, la ligne CF devient tangente, etles deux segments, AE, BE, sont égaux à \a ■. ce cas répond à celuioù les racines de l’équation sont égales. Mais si BC surpasse ' AB,la ligne CF cesse de rencontrer le cercle, circonstance qui répondau cas des racines imaginaires.

L’équation [2], x 1 -}- ax = — b\ n’a point de racines positives.En y changeant x en — x , elle devient x 2 — ax=‘ — b\ équationsemblable à la première; donc, après avoir trouvé les racines decelle-ci, il faudra leur donner le signe ■—.

Prenons maintenant l’équation [3], et écrivous-la ainsi :

X (X — ’O) =

Sous cette forme, on voit que x et x-—a sont deux lignes dontla différence est égale à a , et dont le rectangle est égal à b‘. Pourles trouver, je décris un cercle (fig. 44) sur le diamètre AB = a ,je mène la tangente BC = è, et je tire la sécante CDE par lepoint C et par le centre. Les valeurs de x seront .t = CE,■ x ~—LD : car, en mettant chacune d’elles dans l’équation