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x(x — a)—b*, on arrive à l’égalité CD XCE = 1IC’, laquelle aété démontrée en Géométrie.

L’équation [1] a pour racines celles de l’équation [3], prisesavec des signes contraires ; par conséquent les valeurs de x sont■r=CD, x= —CE.

171. Nous ne parlerons point ici des expressions irrationnellesqui ne peuvent pas se réduire à des radicaux du second degré, at-tendu qu’i7 n est point possible de les construire avec la droite etle cercle, seules lignes qu’on étudie en Géométrie. Cette proposi-tion , qu’on néglige ordinairement de démontrer, peut cependantl’être d’une manière fort simple.

Supposons, en effet, que le problème dont il s’agit puisse scrésoudre en ne traçant que des droites et des cercles , mais qu’onignore comment ces lignes doivent être menées. Il n’cp est pasmoins évident que, si on suit avec attention les constructions suc-cessives qu’on fait sur les données (droites, cercles et angles), pourarriver à la ligne inconnue, il sera toujours possible do tîer cesdonnées h l'inconnue par un enchaînement de triangles, tous par-faitement déterminés. Or, on a vu , en Trigonométrie, aue danstous les cas où un triangle est déterminé , les parties inconnuess’expriment, en fonction de celles qui sont connues, ou par des for-mules qui sont rationnelles, ou par des formules qui ne contien-nent que le radical du second degré ; donc il en doit être encore domême pour les valeurs des inconnues, qui seront données par lesderniers triangles. 11 est bien entendu qu’on substitue toujoursaux angles leurs sinus, ou leurs cosinus, etc.

Il suit de là que, si un problème peut se résoudre avec la règleet le compas, les inconnues que l'Algèbre fera trouver doivent êtreou rationnelles ou réductibles à des radicaux du second degré.Par conséquent, lorsqu’on arrive à des expressions qui ne sont passusceptibles d être réduites à l une de ces formes, il faut conclureque le problème n’est point dans la classe de ceux qui peuventêtre résolus par la Géométrie élémentaire. C’est ce qu'il s’agissaitde prouver.

172. Les anciens , qui ne connaissaient point l’Algèbre , man-quaient de moyens pour juger si un problème est susceptible de serésoudre avec la droite et le cercle ; et, comme ils recherchaientavant tout ce genre de construction , qu’ils considéraient commeplus simple et plus élégant, il n’y avait que l'inutilité de leurs efforts