134 DEUXIÈME PARTIE,

(2 ab-\-a’-\-b > —c') X (2 ab — a’ —£»’-j-c'), Ensuite chacun de cesfacteurs, étant lui-même une différence de carrés, se décomposeaussi en deux aulres; de telle sorte qu’on a

1 b—c) * b) (f»-j— c—— (£)•

Soit a la plus grande des trois lignes a,b,c; pour que le trian-gle soit possible, il faut qu'on ait a<ib-\-e. Alors on a, à plusforte raison, b<^a-\-c, c<^a-\-b ; donc tous les facteurs, quisont sous le radical, sont positifs; donc la valeur de S est réelle,ainsi que cela doit être. Mais, si le triangle est impossible, on doitavoir«>Z»-j-c; par conséquent le dernier facteur est négatif:d’ailleurs les précédents sont positifs, puisque a est supposé plusgrand quel» et que c; donc la valeur de S est imaginaire.

Si on suppose a=b-\-c, on aura S=0. Ce cas est celui où lesommet A, après s’étre rapproché très-près de la base £C , vien-drait enfin se placer sur cette base ; il est évident qu’alors la sur-face du triangle devient nulle.

On simplifie l’expression de S en posant a-\-b-\- c= 2p. De làon tire a-\-b— c— '2(p— c), a-f c—b— 2(p-~b), é-j-c— a—2 [p — a) ; et par suite il vient

S= \/p{p—a) [p—b] {p —c).

2° Rayon du cercle circonscrit (fig. 46 ). Je fais encoro BC — a,AC=f», AB=c. Soit AE le diamètre ducerclc circonscrit; je mènela hauteur AD, et je joins BE. Les triangles ABE, ADC, sont sem-blables : car les angles ABE, ADC, sont égaux comme droits, etles angles AEB, ACD , sont égaux comme inscrits dans le mémosegment. On a donc la proportion AE : AB :: AC : AD, ou211 : C :: è : AD, en désignant par R le rayon du cercle. Cetteproportion donne

bc abc abc

* R ~ 2ÂD = 2<zX AD ~ 4S'

Remplaçons S par sa valeur trouvée plus haut, on aura, pour lavaleur cherchée,

abc

H/p ip—d) ip—b) (p—c)

S” Rayon du cercle inscrit ( fig. 47). Soit O le centre et r lorayon du cercle inscrit dans le triangle ABC. En tirant les lignes