GÉOMÉTRIE ASIATIQUE A DEUX DIMENSIONS. 135
OA, OB, OC, le triangle sera décomposé en trois autres, dont lessurfaces sont égales à j ar, ~ br, cr ; donc la surface du triangle estégale à ~r ( a-j-b-j-c ). Ainsi, on a
'-r (a-]-b-{-c) — S, d’où r —
2S
a-|— b —|— c
et, en mettant au lieu de S sa valeur, on obtient
S~ »P
171. Problème II. Etant donnés les quatre côtés d’un quadri-latère inscrit , trouver les diagonales.
La solution suivante, qui est très-connue, se trouve dans Yiète.
Soit ABCD (fig. 18) un quadrilatère inscrit, ou plutôt inscrip-tiblc : je fais AB = a, BC = b , CD = c, AD = rf, AC = .r,131)=^. Je suppose, pour Gxer les idées, que l’angle ABC soitaigu ; l'angle ADC sera obtus et égal au supplément de l’angleABC, d’où il suit qu’en prolongeant CD, l’angle ADQ sera égalà ABC. Si on abaisse les perpendiculaires CP, AQ, les trianglesCBP, ADQ, seront semblables, et donneront BP : DQ :: b : d y d’où
[1] dx BP = ôX.DQ.
Mais les triangles ABC et ACD donnent, par des théorèmes
connus,
x'‘z=:c^’-\-b ' , — 2aXBP, 2cX DQ.
. On lire de là
bp=£Æi£:, dq= x ' c * ^
2a 2c
et en mettant ces valeurs da'ns l’équation [1], il vient
d’où
cd {a 1 -\-b % —- x 3 ) = ab{x a —c J —■(?),
•r=
‘cd- f- b 2 cd-\- abc À -\-abd*ab-\-cd
Le numérateur de la quantité placée sous le radical est égal auproduit («c-f- bd) {ad-\- bc) ; donc la valeur de la diagonale ACpeut s’écrire ainsi :
x
{ac-\-bd) ( ad-\-bc )ab-\-cd