DEUXIÈME PARTIE.

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Si on cherche l’autre diagonale BD ou y , il est clair que lescalculs seront les mêmes que les précédents, avec cette seule diffé-rence que «, b, c,d, seront remplacés par b , e, d, a. En faisantdonc ces changements dans la formule ci-dessus, on aura la valeurde j', savoir :

y=

(ac-fbd) (ab-\-cd)ad-\- bc

Remarques. 1° A l’aide des valeurs précédentes, il est facile doconstruire le quadrilatère inscriptible, dont les côtés sont connus,11 suffit, en effet, de former au-dessus de AC, comme base, letriangle ACD, qui a pour côtés c, d, et au-dessous un autretriangle dont les côtés soient a, b. On trouve ainsi deux solutionsdifférentes ABCD, AB'CD (fig. 49). Quant à la diagonale AC,elle est elle-même facile à construire. En effet, on peut changerd’abord chaque produit de deux lignes en un carré, et ensuitechaque somme de carrés en un carré unique : de cette manière

la valeur de x prend la formcx= — ■—, ctiln’yaplus

qu’à chercher une quatrième proportionnelle à 7 , a, [3.

2 ° Si on multiplie les diagonales l’une par l’autre, on trouve

( ac-\-bdf ( ab-\-cd ) (ad-\-bc)

(ab -f - cd) [ad- f- bc)

= ac -J- bd j

donc, dans tout quadrilatère inscrit, le rectangle des diagonalesest égal à la somme des rectangles des côtés opposés.

3° Si on prend le rapport de ces mêmes diagonales, on a

x _ y /{ad-{-b<?^“ ad-\-bc

y V {ab-\-cdÿ ab-\-cd’

donc les diagonales sont entre elles comme les sommes des rectan-gles des côtés , qui aboutissent aux extrémités de ces diagonales.

175. Problème III. Connaissant les quatre côtés d’un quadrila-tère inscrit , trouver la surface de ce quadrilatère. ‘

Cherchons, comme dans le numéro précédent, les valeurs de BPet de AC (fig. 48). Ces Valeurs sont

BP =

d 1 -\-b' i —.r 3 _» / a 1 edf 1/ edf abc* abd 1

’ \r ab-\-cd