GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 137

Dans BP remplaçons x par sa valeur : il vient, toutes réductionsfaites,

-b'—c'—dŸ2 [ab —[— cil)

Maintenant, le triangle rectangle BCP donne

IiP= -

CP=V / IlG ,i —J1F

b 1/4 («/> + edf — [d‘ c'—d J )\

2 [ab-\-cd]

donc la surface du triangle ABC sera

ABC =

ab \/4 (ab-\-cciy —(«“-(-— c‘ — d‘f

4

Si on cherche de même celle de ADC , on trouve

ADC =

ccl V 4 [ab + edf — (a 3 + b‘—c 1 —d‘)

4 (àé-f-o/)

Or, ABC-(-ABC=ABCD; donc, S désignant ABCD, on a

S= j 1/4 {ab-\-cdf —— c‘ — d‘)'\

La quantité qui est sous le radical se décompose facilement en fac-teurs, et il vient

S = 3 [/ [a-\-b-\-c — d) [a-\-b-\-d — c) [a-\-c-\-d — b) [b-\~c-\-d — a),ou bien, en faisanta-j-i-j-c-|-rf=: 2 ^,

S = V ( p—a) (p — b) [p—c ) [p—d).

Remarque. Il est facile de trouver le rayon du cercle danslequel le quadrilatère peut être inscrit. Pour cela , il faut calculerla diagonale AC ; alors on connaît les trois côtés du triangle ABC,et on obtient le rayon du cercle circonscrit à ce triangle par laformule trouvée dans le n° 173. Or, ce rayon est précisément celuiqu’il faut déterminer.

17G. Problème IY. Trois parallèles étant données, FG, III,RL (Ilg. 50), trouver les côtés d’un triangle dont les angles sontdonnés, et dont les sommets doivent être placés sur ces parallèles.

Soit ABC le triangle demandé : par hypothèse, lçs angles A,B,C,sont donnés; mais les côtés sont inconnus Je pose BC = .r,AC— y-, Al) = ;; sur KL j’abaisse la perpendiculaire AE quicoupe III en D , et je fais AD = a , -AE =b.