OÉ0MKTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

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CHAPITRE II.

DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

Lieux gcoinétriqncf. Moyen de les repiésenter par des équations.

178. Il peut se faire que dans une question de géométrie, oùl’on propose de trouver un point, la condition donnée par l’é-noncé convienne à tous les points d’une même ligne, le problèmeest alors indéterminé, et l’Algcbre doit faire connaître cetteligne elle-même. Par exemple, on demande un point tel, qu’en leprenant pour sommet d'un triangle dont la base est donnée, lasomme des carrés des côtés de ce triangle soit égale au carré dela base. 11 est évident que tous les points de la circonférence dé-crite sur la base, comme diamètre, jouissent de la propriété énon-cée. Si on veut appliquer le calcul à cette question très-simple,on supposera que du point cherché, M ( fig. 51 ), on abaisse uneperpendiculaire MP sur la base donnée AB : les distances APet MP seront deux inconnues qu’il faut connaître pour que lepoint M soit déterminé. On fera AP=.r, MP=^, AB=«; et lestriangles rectangles AMP, BMP, donneront

lM a =MF -LaF=/+æ’,

BM’=MP*-f PB’=y-f [a—x)'.

Or, l’énoncé ne donne que la seule condition AM’-j-BM’ = AB 1 ;on mettra donc au lieu des lignes leurs valeurs, et on aura, pourdéterminer x et y, l’équation unique

y 1 -f X 2 + y 1 -\-{a—x)'=a\ou, en réduisant et transposant,

y 3 —ax — x ’.

Cette équation ne change pas, quelque position qu’on supposeau. point M, soit au-dessus, soit au-dessous de AB. Comme ellecontient deux inconnues, on peut donner à l'une d’elles, à or, parexemple, une valeur arbitraire AP ; l’autre inconnue, y, se calcu-