118 DEUXIÈME PARTIE.

relations avec r et ,)• soient moins compliquées que celle qui estdonnée entre ces variables. C’est ainsi que dans l’exemple pro-posé, pour éviter la résolution d’une équation du 3 e degré , onîeray—tx. Après cette substitution, l’équation peut être diviséepar x 2 et devient

fîx — 3at-\-x — 0.

De celle-ci on tire xent, puis on exprime" aussi y en t. On trouve

3 at 3 aV

X ~ «H-Tf’ y== ë+ï'

Alors on fera passer t par tous les états de grandeur, on calculerales valeurs correspondantes de x et y , puis on construira la courbepar points.

En supposant £=0, on a x=^0 et y—0, ce qui déterminel’origine A. Si on fait croître t positivement, les valeurs de xseront positives, et commenceront aussi par croître: mais ellesne dépasseront pas une certaine limite ; car lorsque t est très-grand , x est très-petit, à cause de r 3 qui est au dénominateur.Quoique nous n’ayons pas de méthode pour assigner cette limite,il n’en est pas moins évident qu’elle existe, et d’ailleurs elle setrouve déterminée par approximation quand on calcule ce que de-vient x pour des valeurs de; très-rapproehées. Pareillement, l’or-donnée^ augmente jusqu’à-une certaine limite, après laquelle ellediminue. Enfin, pour « = on a .r=0, y = 0, et. ces valeurs

ramènent à l’origine. Ou obtient de cette manière h/'cuiilc AC DE A.Sur quoi il faut observer que, l’équation proposée étant symétri-que en x et enj-, la droite AD, qui divise l’angle j\x en partieségales, doit partager aussi la courbe en parties égales.

Il faut maintenant donner à i des valeurs négatives. Pour plusde commodité, je change t en — t : il vient

3 at 3 at 1

x ~~~ i_* 3 ’ 3 — |;

et alors on devra prendre t positivement. En faisant augmenter tde 0 à 1, les variables x et,y croissent de zéro à l’infini, l’une né-gativement, et l’autre positivement : ainsi se construit la brancheindéfinie AE. La même chose arrive quand on fait décroître t de-puis l’infini jusqu à 1, avec cette seule différence que a: est positif,tandis que y est négatif : de là résulte la branche AG qui achève lacourbe demandée, laquelle est connue sous le nom de folium clcDescartes.