GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

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184. Proposons maintenant des problèmes dans lesquels il s'agirade trouver les équations de quelques lieux géométriques

Problème I (fig. 58). Soit ALB un cercle donné , et , C uneper-vendiculaire élevée à Vextrémité du diamètre AB ; du point A ,tirez une infinité de lignes telles que AD, qui coupe BG en D cl lacirconférence en L; et, sur chacune de ces lignes, prenez AM—LD:le lieu des points M, ainsi déterminés , sera une courbe donton demande l'équation. Cette ligne est la cissoïde inventée parDioclès .

Je prendrai le diamètre AB pour axe des abscisses, et la per-pendiculaire A y pour axe des ordonnées. J’abaisse MP, LQ, per-pendiculaires sur AB, et LR perpendiculaire sur BC. Je faisAP = .r, MP=/, AB=rt. Pour avoir une équation entre cesquantités, je remarque d’abord que les triangles AMP, LD 11sont égaux; donc QB == LR = AP = x, et AQ=a— x. Laligne LQ est moyenne proportionnelle entre AQ et QB ; donc

LQ=1 / x (a — x). Enfin les triangles semblables AMP, ALQ,donnent MP : AP G BQ : AQ, ou

y ; x : : 1/æ {a — x) : a — x.De cette proportion on tire, toute réduction faite

Celte valeur ne donne que la partie supérieure de la courbe :pour avoir toute la courbe, il faut prendre cette valeur avec ledouble signe ±, ou, ce qui revient au même, élever les deuxmembres de l’équation au carré. On a ainsi, pour l’équation de lacissoïde,

On pourrait en trouver la forme en suivant la marche (racée dansles numéros précédents Mais il est plus simple de construire cettecourbe d’après l’énoncé même de la question.

Problème II (fig. 50).-Soient XX', Y Y', deux droites rectangu-laires , et O un point donné sur la ligne XX', on fait mouvoirun angle droit KE1I de maniéré que son coté EK, qui est indéfini ,passe toujours par le point O , et que l'autre coté Eli, qu'on sup-pose égal à OA , ait toujours son extrémité II sur la ligne YY':