DEUXIÈME PARTIE

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CHAPITRE III.

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

Olijet de celte transformation.

186. L’équation d’une courbe ne reste pas la même quand onchange les axes auxquels on la rapporte. Nous en avons déjà unexemple dans le problème II du n°.184, qui a conduit à une équa-tion dont la différence avec celle de la cissoïde ne venait que de laposition de l’origine des abscisses. Le cercle en offre encore unexemple frappant. Si on prend pour axes deux diamètres rectangu-laires (fig. 61 ), et qu’on désigne le rayon par R, on aura, pour cha-que point de la circonférence, l’équation

.r a -f t r J =R J :

car cette équation exprime, ainsi que le montre la figure , que ladistance de l’origine à chaque point de la courbe est égale à R.

Mais supposons que les axes rectangulaires auxquels on rap-porte le cercle ne passent point par le centre, et désignons les coor-données de ce centre par a et (5. Soit O le centre (fig. 62 ), et M unpoint quelconque delà circonférence; menons OR, IMF, perpen-diculaires à l’axe Aa.-,_et OQ perpendiculaire à MP, le triangleOMQ donnera OQ’-)-MQ’=ÔM\ Or, OQ = AP — AR=x—a,MQ = MP — OB==^—(3,ctOM = R; donc on aura, pour l’équa-tion du cercle,

(ar-,) 3 -fCr-S) a =R%ou, en développant les carrés,

—2/x -f.r 3 —a’-f- 3’= R 3 .

Cette équation est, comme on voit, beaucoup moins simple que lapremière. On en aurait une moins simple encore si les axes n’é-taient point rectangulaires.

187. Puisque l’équation d’une ligne peut devenir plus ou moinssimple, selon les axes auxquels elle est rapportée, il s’ensuit qu’on