GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 153

doit avoir le plus grand soin, lorsqu’on chercheTéquation d’unecourbe, dont on donne la génération ou une propriété quelconque,de faire choix d’uu système d’axes qui n’entraîne point dans descalculs compliqués, et qui conduise à l’équation la plus propre àmanifester la forme et les propriétés de la courbe.

D’un autre côté, il peut se faire qu’on connaisse déjà l’équationd’uneligne rapportée à un système d’axes déterminés, ctil n’est pasmoins important de savoir trouver l’équation qui représenteraitcette même ligne rapportée à d’autres axes. Ce problème sera ré-solu quand on connaîtra, pour un point quelconque, les valeurs desanciennes coordonnées en fonction des nouvelles; car alors, ensubstituant ces valeurs dans l’équation proposée, on obtient unerelation entre les nouvelles coordonnées de chacun des points delàcourbe que l’on considère. C’est en cela que consiste la transfor-mation des coordonnées.

Formules pour la transformation îles coordonnées.

188. D’après ce qui précède, la question à résoudre est celle-ci :Exprimer les coordonnées primitives d’un point quelconque enfonction des nouvelles.

Supposons d’abord que la direction des axes reste la même, etque l’origine seule varie. Soit (tig. 63) A' la nouvelle origine, etA'x', A V, les nouveaux axes auxquels on veut rapporter les pointsprécédemment rapportés aux axes parallèles Ax, Ay. Si on prendun point quelconque M, situé dans l’angle y'A'x', cl que l’on mènel’ordonnée WP qui coupe A'x' en I : ', on a évidemment

AP=AB -f BP, W P=A'B -f MP'.

AB et A'B sont les coordonnées de la nouvelle origine : elles dé-terminent sa position par rapport aux anciens axes. Faisons donc.AB = rt et A'B = b; représentons par x,y, les anciennes coordon-nées du point M ; et par x', y', les nouvelles. Alors on aura

[1] x=a-\ r x', y = b-j-y'.

Ces formules serviront à changer deux axes quelconques en d’au-tres qui leur soient parallèles.

189. Passons maintenant au cas général, dans lequel on changeen même temps l’origine et la direction des axes.

Soient Ax pt Aj- (fig. 64) les axes primitifs, qui forment entre