162

DEUXIÈME PARTIE.

CHAPITRE V.

LIGNES DD PREMIER ORDRE.

Construction des équations du premier degré.

203. On sait déjà que l’équation du premier degré ne peut don-ner que des lignes droites ( 200). Je vais démontrer ici cette propo-sition , sans avoir recours à aucune transformation de coordonnées.

Toutes les équations du premier degré sont comprises dans laforme générale

Ar + Ba: = C:

construisons d’abord l’équation plus simple

y — ax,

dans laquelle nous supposerons que a est une quantité positive.

Si on donne à x des valeurs positives,,/ sera positif, et si ondonne à x des valeurs négatives, y sera négatif; donc tous lespoints déterminés par l’équation y = ax sont situés dans l'angleyAx (fig. 66) et dans l’angle opposé y'Ax'.

Cette équation donne

y „

— = a.x

t

Ainsi, pour tous ces points, le rapport de l’ordonnée à l’abscisseest égal à la constante a; par conséquent, si M et M' sont deuxde ces points, et qu’on mène lei ordonnées M P et M'P', les trianglesMPA, M'P'A, qu’on formerait en tirant les droites MA, M'A,sont semblables : donc les angles MAP , M AP', sont égaux ; doncles droites AM, AM', se confondent, ainsi que toutes celles qui se-raient menées du point A aux differents points déterminés parl’équation y — ax. Cela veut dire, en d’autres termes, que tousces points sont sur une ligne droite DAD', menée par l’origine etpar l’un quelconque d’entre eux.

Réciproquement, tous les points de cette droite peuvent êtreconsidérés comme déterminés par l’équation y = ax. En effet,soit M un point, déterminé au moyeu de cette équation, par lequel