m DBUX1ÙME PARTIE.

construira cette nouvelle ligne en prenant AB — b sur A y , et enmenant BE parallèle à AD.

S’il reste des doutes à cet égard, on peut les lever en prenantdes points de la droite, dans chacun des trois angles qu’elle tra-verse , et en démontrant que pour tous ces points on a y = ax -j- b.Si, par exemple, on considère un point M situé dans l'angle rAj.',qu’on mène MP parallèle à Aj, et qu’on prolonge cette parallèlejusqu’au point N où elle rencontre DD', on aura

MP = MN—PN = 6 — PN.

L’abscisse des points M et N est égale à —AP ; donc l’ordonnéecorrespondante du point N, qui est situé sur la ligne DD', seraégale à —a x AP. Cette valeur est négative, parce que le pointN est au-dessous de x'x : eu ne prenant que la valeur absolue,on a PN=«x AP, et par suitc

MP = (i-aXAP,

valeur égale à celle qu’ou déduit de l’équation y = ax-\-b en ysubstituant —AP à la place de x.

Nous venons de construire l’équation y = ax-\-b, dans la sup-position que a et b étaient des quantités positives; mais celte équa-tion présente trois autres variétés relativement aux signes de cesconstantes, savoir ;

y — ax —ii, y = —(U'-f b , y = — ax — b.

On peut appliquer à chacune de ces équations des raisonnementssemblables a ceux qu’on a faits pour l’équation y = ax-{-b, eton trouve toujours une ligne droite, mais la position n’en est pointla même. Voici les constructions propres à chacun de ces trois cas.

Si l’équation est y = ax — b, on construit, comme dans lepremier cas, la droite AD (fig. 68), représentée par l’équationy=ax, on prend encore sur l’axe des y une distance AB = b,mais du côté opposé à A/*, et on mène encore BE parallèle à AD.

Si on a l’équation y— — ax-j-b, on construit la droite dA( 6g. 69), représentée par l’équation y — — ax , on prend AB —ô,du côté A y, et on mène encore BE parallèle à Ad.

En6n, quand on considère l’équation y= — ax — b , la seuledifférence avec le cas précédent consiste en ce que l’on prendAB= b ( 6g. 70) au-dessous de l’origine, du côté A y .