170 DEUXIÈME PARTIE.

et si maintenant on suppose x" — x' il viendra x = x\ ce quimontre qne la droite est parallèle à l’axe des y, ainsi que cela doitêtre, puisqu’elle passe par les extrémités de deux abscisses égales,MQ et M'Q' (tig. 76).

Si on suppose à la fois x" — x et y" =ÿ, l’équation [3] devienty—ÿ = \ ( x x' ).

Le coefficient de x — x’ étant indéterminé, la droite peut prendretoutes les positions possibles autour du point dont les cordonnéessont x' et y’. C’est en effet ce qui doit avoir lieu : car les deuxpoints donnés n’en font plus qu’un seul, et par un point on peutfaire passer une infinité de droites.

216. Problème IV. Trouver îéquation d’une droite qui passepar un point donné , et soit parallèle à une droite donnée.

Pour la droite donnée et pour la parallèle, prenons leséquations

y = ax-\-b,y — a'x -|- b' :

a et b sont supposés donnés, mais a! et b' sont inconnus-Pour que les droites soient parallèles on doit avoir

a' —a.

En effet, l’une est parallèle à une droite qui passe par l’origine etdont l’équation est y—ax (204) ; l’autre est parallèle à une droitedont l’équation est y— a'x. Or, les deux dernières lignes, passantpar l’origine, doivent se confondre en une seule quand les deuxpremières sont parallèles; donc on doit avoir a'— a. Par suitel’équation de la parallèle à la droite donnée devient

y = ax -)- b'.

Ici b' reste encore indéterminé, parce qu’il y a une infinité dedroites qui sont parallèles à une ligne donnée. Mais si on veut quecette parallèle passe par un point donné, dont les coordonnéessoient x' et y', il faudra qu’on ait

y' = ax' + b\

équation qui fait connaître b'. En la retranchant de la précédenteb' sera déliminé, et on aura, pour la parallèle demandée,

y^-y' = a (x—x').