GEOMETRIE AÎULTTlyUE A DEUX DIMENSIONS. 173

221. Problème VII. Etant données les équations de deux droi-tes, trouver F angle de ces droites.

Soient

r — ax -f- l>, y = ax -j- b',

les équations des deux droites. Menons par l’origine (fig. 81) leslignes AD, AI)', parallèles à ces droites. L’angle DAP' est égal àl'angle cherché : nous le désignerons par V. Les angles DA.r,b'kx, sont égaux à ceux que les droites données font avec l’axeAx •. nous les désignerons par a et -J. Cela posé, on a évidemmentV — z —x; donc

tangV=tang (*'—xj

lang ■' —tang«

1 -f-tang a tanga’

Supposons en premier lieu que les axes des coordonnées soientrectangulaires: on a (212) tang a=a, tang donc

tang V

a!—a

1 -f- aa!

Cette formule résout la question, puisqu’elle fait connaître la tan-gente de l’angle demandé.

Quand les droites sont parallèles, l’angle V est nui, tang V doitêtre nul aussi ; donc a'—a, ainsi qu’on l a déjà vu (216).

Quand elles font un angle droit, tang V doit être infinie, et pourcela il faut qu’on ait

1

aa'- j-1 = 0, d’où a! =-.

Telle est la condition qui doit être remplie pour que deux droitessoient perpendiculaires l’une sur l’autre. Si la première droite estperpendiculaire aux abscisses, a est infini, et on trouve a' — 0 ;donc la seconde droite est parallèle aux abscisses, ainsi que celadoit être. Pareillement, si la première est parallèle aux abscisses,a est nul, et on trouve a!~oo, ce qui montre que l’autre droiteest parallèle aux ordonnées.

222. En second lieu, supposons que les axes des coordonnéessoient obliques, et qu’ils fassent entre eux un angle 0 , on a (213)

<zsinO , a' sin& „

tang a= -, tang a = — ; — ; -. Remplaçons donc

1 -j-a cosô 1 -j- a' cos 6 “

tang a et tang *' par ces valeurs ; il vient, toute réduction faite,

{a 1 — a) sinô

1 -f-aa'-f- {a-\-a'} cos® "

tangV: