wr

"Ml W-*

mu 'il*

180 ‘ DEUXIÈME F'AKTIK.

l'équation proposée ne pouf plus représenter une ligne courbe.JNous reviendrons sur ce cas particulier.

230. Les raisonnements précédents conduisent à établir troisgenres de courbes du second ordre. Cette énumération, il est vrai,semble exiger que l’équation soit du second degré par rapport à y ;mais nous allons montrer qu elle comprend les autres cas.

231. Le coefficient A étant nul et C ne l’étant point, l’équationf A] sera du second degré en x ; et si on la résout par rapport àcette variable, on aura

l.

B E20^ -ÏC

^ l/uy+2 (BE—2CD).r + E 2 — ACF.

Si B n’est pas nul, lVy* est positif; et si on raisonne commeplus haut (228), en mettant partout y à la place de x, on verra que* la courbe doit avoir quatre parties indéfinies, et que, par celte rai-son , il est permis de la placer dans le genre des hyperboles, auquelelle appartient encore par le caractère analytique : car la quantitéB a — 4AC, qui se réduit ici à B% est essentiellement positive.

Si B = 0, y n’est plus qu’au premier degré sous le radical, etil est facile de voir que la courbe représentée par l’équation doitêtre rangée parmi les paraboles. C’est là aussi que la porte le carac-tère analytique : car B”—4AC est égal à zéro, à cause des hypo-thèses A = 0, B= 0.

232.11 peut arriver que C soit nul en même temps que A. Alorsl’équation [A] devient ,

Bxy -f D y -j- E x -f F=0,

et ne peut plus être résolue que comme équation du premier degré.On en tire

— Ex —FBx-f-D

et x:

-Dr—F

-D —

F

B,+E E

y

La valeur de y montre que, si on fait x égal à l’infini positif ou à_ E

l’infini négatif, on a^ = —jj—; donc, si on prend (fig. 85) sur

l’axe des .y, et dans le sens convenable, une partie AB égale à cettequantité, et que par le point B, ou mène 11 H' parallèle à A x , laligne du second ordre ira rencontrer cette parallèle à une distance