CKO.MEriüE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 181
iuliuie du point B, tant du côté BH que du côté BH' ; donc elle s'é-tend indéfiniment dans l’un et l'autre sens. La valeur de x montre
qu’en l'aisant,r = ± so, ona ,r = — — ; donc,si on prend, du côté
convenable de l’origine, l’abscisse AG égale àcette quantité, et qu’onmène, par le pointe, la ligne KK'parallèle à A y, la courbe rencon-trera celte parallèle à l’infini, tant au-dessus qu’au-dessous; doncelle s’étend indéfiniment du côtéCK et du côté CK'. Lacourbeadoncquatre parties indéfinies, et pour cette raison on la placera parmiles hyperboles. On remarquera d’ailleurs que la quantité B a — 4AGest encore positive, puisqu’elle se réduit à B’, et que B n’est pointnul, sans quoi l’équation proposée ne serait plus du second degré.
233. Maintenant on doit voir bien clairement qu’il n’y a lieu àdistinguer que trois genres de courbes du second ordre.
1° Les ellipses , qui sont des courbes limitées dans tous les sens,et pour lesquelles on a B’—4AG<0 ;
2° Les hypeiiboles, qui sont des courbes composées de quatre, par-ties indéfinies, et pour lesquelles on a toujours B J —4AC> 0 ;
3° Les paraboles, qui sont des courbes composées de deux par-ties indéfinies, et pour lesquelles on a B 1 — 4AC = 0.
La condition B a —•4AC=0 est celle qui doit avoir lieu pour que-Vr'+B.rr-j-C.r 3 soit un carré : ainsi, on peut dire qu admis les casou l'équation du second degré représente une parabole , les troistermes du second degré forment un carré. La réciproque est vraie.
Maintenant nous allons discuter en particulier chacun des troisgenres de courbes.
Discussion de I’Ki.lipse. B 5 — 4AC 0.
234. En résolvant l’équation [A], on a trouvé (226)
1 -
y = ax-\-b rh — [//cr a -|- -2px -f q,
valeurs dans lesquelles « désigne B J — 4AC. Dans le cas que nousdiscutons, celle quantité est négative ; c’est pourquoi nous met-trons—” au lieu de n , et nous pourrons écrire les valeurs de .ycomme il suit :
y—axf bz
-2aV A V~ r? ~ J'
Supposons que Hll' (fig. 86) soit le diamètre qui a pour équation: )- — ax -j-é, et cherchons les points où il est rencontré parla